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1、初二数学初二数学寒假专题寒假专题因式分解因式分解华东师大版华东师大版【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容：寒假专题因式分解二. 重点、难点：1. 重点：（1）因式分解的意义；（2）因式分解的一般步骤.2. 难点：（1）因式分解与整式乘法的联系与区别；（2）灵活运用因式分解的方法解答实际问题.三. 知识梳理：1. 因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解可见，因 式分解与整式乘法是正好相反的过程例如：下列因式分解中，结果正确的是.A. 2422xxxB. 21213xxxC. 23222824m nnn mnD. 22 2111(1)44xxxxx 2
2、. 因式分解的两种基本方法：（1）提公因式法：如 abac=a （bc） 。（2）运用公式法：如)yx)(yx(yx22，运用平方差公式；222)yx(yxy2x，运用完全平方公式。“先看有无公因式，再看能否用公式” 。这个思想要贯穿于我们解题的始终，不管是 难题还是易题，填空题还是大题，这样更有利于形成能力.因式分解要彻底，也就是分解到 不能再分解为止。例如：分解因式：x5x3.3. 公因式的意义：多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式，如 abacad 中，各项中都含有因 式 a，故 a 叫公因式。4. 公因式的确定：（1）在提公因式时，若各项系数都是整数，所提公因式是各项系数的最大公
3、约数与各 项均含有的字母的最低次幂的积。（2）如果多项式的首项是负数，则公因式符号取“” ，这样可使括号内的第一项系 数为正数，但要注意，在提出“”号时，多项式的各项都要变号。5. 运用平方差公式分解因式的特点：（1）应是二项式。 （2）二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方。（3）二项是异号。凡具备上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。如)ba)(ba (ba22。6. 运用完全平方公式分解因式的特点：（1）应是三项式。（2）其中两项同号，且各为一个整式的平方。（3）还有一项可“”可“” ，且它是前两项幂的底数的乘积的 2 倍。凡具备上述特点的式子，可以用完全平方公式分
4、解因式，如222)ba (bab2a。【典型例题典型例题】例 1. 把2a34a22a 分解因式。分析：分析：多项式首项为负时，常提出这个负号，使首项为正，所提的公因式与某项相同 时，这项提出公因式后为 1。一般来说，一个多项式有多少项，提出公因式后，仍然有多 少项.此题避免出现2a34a22a=2a（a22a）这样的错误。 解：解：2a34a22a=2a（a22a1）=2a（a1）2例 2. 分解因式：25（ab）29（ab）2分析：分析：运用整体的思想，还应将因式分解彻底。解：解：25（ab）29（ab）2=5（ab）23（ab）2 =5（ab）3（ab）5（ab）3（ab）=（2a8b）
5、 （8a2b）=4（a4b） （4ab）例 3. 分解因式 5（xy）310（yx）2分析：分析：观察（xy）3与（yx）2的底数互为相反数，只需要将其中的一个通过恒等 变形，使它们的指数变得一致就可以了。理解变形：（xy）3=（yx）3=（yx）3（xy）2=（yx）2=（yx）2更进一步的认识到：（xy）2n+1=（yx）2n+1=（yx）2n+1；（xy）2n=（yx）2n=（yx）2n；用语言表述这个规律，当一个式子的指数是偶数时，其底数变为它的相反数后，其值 不变；当一个式子的指数是奇数时，底数变为它的相反数后，这个式子本身的前面添上负 号。这里以变指数是偶数项最为简便。解：解：5（
6、xy）310（yx）2=5（xy）310（xy）2=5（xy）2（xy2）.例 4. 利用因式分解计算：（1）3994994992；（2）5311132(416 ) 125 (22 ) 5 ；（3）22518051531605380.；（4）222222221234979899100。分析：分析：在运用因式分解进行简便运算时，只要数值的特点符合公式的特点，一定要结 合公式进行简化运算.有时需要对数据变形后再用公式进行简便运算。解：解：（1）解：)399499(4993994994992=499100=49900（2）5310123102311132111321122(416 ) 125(22
7、) 52 (12 ) 55 (22 ) 5(22 ) 52 (12 ) 52.（3）22518051531605380.)515153253(8022.2)5153(80. =2000（4）222222221234979899100=22222222(10099 )(9897 )(43 )(21 )=（10099） （10099）（9897） （9897）（21） （21）=1009998974321 =5050例 5. 试说明：200020012003310343是 25 的倍数。分析：分析：要说明其是 25 的倍数，只要能化简到有一个因数是 25 就行了。解：解：2000200120033
8、10343)10343(332000)101227(320002000325所以，式子200020012003310343是 25 的倍数。例 6. 已知01432xxxx，求2009321xxxx 的值分析：分析：将4321xxxx看成一个整体对所求式进行化简解：解：)()1 (1965432200932xxxxxxxxxxx )(200920062005xxx )1 ()1 ()1 (43220054325432xxxxxxxxxxxxxx )1)(1 (2005105432xxxxxxx 由于01432xxxx则0120092 xxx例 7. 已知二次三项式 2x2-9x+k 分解因式后
9、有一个因式是 x-3，试求 k 的值及另一个因式。分析：分析：原式是二次三项式，分解后有一个因式是 x-3，则另一个因式的一次项定是 2x，可设另一个因式的常数项，再根据因式分解与整式乘法的关系求得常数及 k 的值，这 种方法也叫待定系数法。解：解：设 2x2-9x+k=（x-3） （2x+a）=2x2+ax-6x-3a=2x2+（a-6）x-3a.由对应项系数相等得：a-6=-9，所以 a=-3所以 k=-3a=-3（-3）=9例8. 阅读下列解题过程：等式a2-4ab+5b2-2b+1=0可变形为（a2-4ab+4b2）+（b2-2b+1）=0再变形为（a-2b）2+（b-1）2=0所以a
10、=2，b=1根据上述过程完成下题：已知x2+6xy+10y22y+1=0.求x、y的值分析：分析：这是一道阅读理解题，根据阅读获得解题方法，再解答类似的问题。解：解：x2+6xy+10y22y+1=0可变形为：（x2+6xy+9y2）+（y22y+1）=0再变形为：（x+3y）2+（y-1）2=0所以：x=-3，y=1例 9. 阅读下列计算过程并解答：9999+199=992+299+1=（99+1）2=1002=104（1）999999+1999= = = = ；99999999+19999= = = = ；（2）猜想：99999999999999999999+19999999999 等于多
11、少?写出计算过程。分析：分析：从解题过程中发现规律，依次类推，得到结果解：解：（1）9992+2999+1， （999+1）2，10002，106；99992+29999+1， （9999+1）2，100902，108；（2）1020（过程略，由同学们自己写出来）例 10. 计算多项式的乘法时，有这样一个结果：（xp） （xq）=x2mxn则 m=（p+q） ，n=pq这说明如果一个二次三项式的常数项分成 pq，而 pq 恰好是系数，那么这 个 x2mxn 二次三项式就可以分解成 x2mxn=（xp） （xq） ，通过上面的方法，分 解下列二次三项式：x25x6=_；x25x6=_； x25x
12、6=_； x25x6=_； x2x6=_； x2x6=_； x27x6=_； x27x6=_。 分析：分析：这是对二次项的系数为 1 的特殊的二次三项式分解因式的一种方法的总结，即 因式分解后，两个一次式的常数项的和与积与原二次三项式的一次项系数与常数项之间的 关系，注意体会本例题，在今后的学习中很有用。解：解：（x+2） （x+3） ；（x2） （x3） ；（x6） （x1） ；（x1） （x6） ；（x3） （x+2） ；（x3） （x2） ；（x6） （x1） ；（x6） （x1） 。*拓展：根据对本例的解答，你能将多项式：（x22x）27（x22x）8 分解因式 吗? 【模拟试题模拟试
13、题】 （答题时间：40 分钟） 一. 选择题：1. 多项式 3a2b3c-4a5b2+6a3bc2的公因式为（ ）A. a2bcB. 12 a5b3c2C. 12a2bcD. a2b2. 若 x2+2（m-3）x+16 是完全平方式，则 m 的值等于（ ）A. -5B. 3C. 7D. 7 或-13. 化简：43222 22nnn 得（ ）A. 1128nB. -12nC. 15 16D. 7 84. （-2）2005+（-2）2006的结果为（ ）A. -22005B. 22005C. 2D. 22006二. 填空题：5. 任写一个三项式，使它们各项之间的公因式为-2ab2，这个三项式为： _。6. 已知 x3-3x+k 有一个因式是（x-7） ，则 k=_。7. 若m-1+2(5)n =0，则 m=_，n=_，此时将 mx2-ny2 分解因式得mx2-ny2=_。8. 已知 a+b=5，ab=3，则代数式 a3b-2a2b2+ab3=_。 9. 若非零实数 a、b 满足 4a2+b2=4ab，则b a=_。 三. 解答题（16 题 12 分、17 题 8 分，18、19 题各 10 分，共 40 分）10. 分解因式：（3m2n）2（m4n）2；9（2p+3q）2
