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1、- 1 -分类讨论思想在一元二次方程中的运用分类讨论思想在一元二次方程中的运用在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思 想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。例例 1. 已知方程有实数根，求 m 的取值范围。m xmx222110分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有 指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。解：（1）当，即，方程为一元一次方程，有实数根；m20m 0x 10x 1（2）当，即时，方程为二次方程。由有实根的条件得：m20m 0 2144101 422mmmm所以，且m 1 4
2、m 0综合（1）、（2），得：m 1 4评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有 两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次 方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否 为零进行分类讨论。例例 2. 当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程与mxx2440 的根都是整数。xmxmm2244450解析：由于给出的关于 x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即 。又由于方程均有实数根，所以m 0 124440 m解得：m 1- 2 -又2224414450 mmm解得：m 5 4所
3、以5 41m又 m 是整数，且，且或 1m 0m 1当时，方程为，解得方程的根为m 1mxx2440xx2440，它的根不是整数，故舍去。x 22 2m 1当时，方程的根为，方程m 1mxx2440xx122根为，均为整数，所以。xmxmm2244450xx1251 ，m 1评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。例例 3. 已知关于 x 的方程：xmxm22 240（1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。（2）若这个方程的两个实数根满足，求 m 的值及相应的xx12、xx212。xx12、解：（1） mmm244212222所以不论 m 取何值，总有2102m所
4、以，即21202m 0所以方程总有两个相异的实根。- 3 -（2）因为xxm12240 所以或xx1200，xx1200，若，则xx1200，xx212 所以xx122所以m 4此时xx2240所以xx121515，若，则xx1200，xx212所以xx122 所以，此时m 1xx220所以xx1202 ，评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。例例 4. 若实数 a、b 满足，求的值。aabb22850850，b aa b 1 11 1解：由方程根的定义，知 a、b 是方程的两个根xx2850所以abab85，所以 b aa bababababab 1 11 12221
5、202事实上，题设中的 a 与 b 是可以相等的，当时，原式2ab- 4 -综上所述：当时，原式，当时原式2ab 20ab评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明 确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：分类应按同 一标准进行，分类应当没有遗漏，分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳并作出结论。练习题练习题1若方程 x2-2x+（2-）=0 的两根是 a 和 b（ab），方程 x2-4=0 的正根是 c，试33判断以 a、b、c 为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积
6、；若不存在，说明理由2已知关于 x 的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为 1，其中a，b，c 是ABC 的三边长（1）求方程的根；（2）试判断ABC 的形状3某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？- 5 -4李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程 11公里，应收29.10 元”出租车司机说：“请付 29.10 元”该城市的出租车收费标准按下表计算
7、，请求出起步价 N（N6价格（元）N22 N25 N参考答案参考答案1解：解方程 x2-2x+（2-）=0，得 x1=，x2=2-3333方程 x2-4=0 的两根是 x1=2，x2=-2所以 a、b、c 的值分别是，2-，233- 6 -因为+2-=2，所以以 a、b、c 为边的三角形不存在33点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断2解：（1）设方程的两根为 x1，x2（x1x2），则 x1+x1=-1，x1-x2=1，解得 x1=0，x2=-1（2）当 x=0 时，（a+c）02+2b0-（c-a）=0所以 c=a当 x=-1 时，（a+c）（-1）2+2b
8、（-1）-（c-a）=0a+c-2b-c+a=0，所以 a=b即 a=b=c，ABC 为等边三角形点拨：先根据题意，列出关于 x，x 的二元一次方程组，可以求出方程的两个根 0 和-1进而把这两个根代入原方程，判断 a、b、c 的关系，确定三角形的形状3解：设该产品的成本价平均每月应降低 x625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得 500（1-x）2=405，（1-x）2=0.811-x=0.9，x=10.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%答：该产品的成本价平均每月应降低 10%点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125 元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价4解：依题意，N+（6-3）+（11-6）=29.10，22 N25 N整理，得 N2-29.1N+191=0，解得 N1=19.1，N2=10，由于 N12，所以 N1=19.1 舍去，所以 N=10答：起步价是 10 元点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过 3 公里时，价格是 10 元，当行车里程超过了 3 公里而不超过 6 公里时，除付 10 元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过 6 公里，除了需付以上两项费用外，超过 622 N公里的部分，每公里再付元25 N
