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1、任意角的三角函数（一）教案任意角的三角函数（一）教案教学目的：教学目的： 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学重点：教学重点：任意角三角函数的 定义. 教学难点：教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 授课类型：授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：课时安排：1 课时奎屯王新敞新疆教教 具具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标 与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一 般关系的理
2、解.通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻 的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是 任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角 函数: cbsincacosabtanbacot2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知 道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们 来研究任意角的三角函数. 二、讲解新课：二、讲解新课： 对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任
3、意角的三角函数， 我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离奎屯王新敞新疆02222yxyxr2比值叫做的正弦 记作： ryrysin比值叫做的余弦 记作： rxrxcos比值叫做的正切 记作： xyxytancbaABCry)(x,P比值叫做的余切 记作： yxyxcot比值叫做的正割 记作： xrxrsec比值叫做的余割 记作： yryrcsc根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都
4、为 0，所以 tan、sec无意义；Z)(2kk当角的终边在横轴上时，即（Z）时，终边上任意一点 P 的纵坐标都为0，所以 cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题： 角是“任意角” ，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等奎屯王新敞新疆实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用奎屯王新敞新疆三角函数是以“比值”为函数值的函数而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三
5、角函数的符号应由象限确定.0r定义域：对于正弦函数，因为0，所以恒有意义，即取任意实数，rysinry恒有意义，也就是说 sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R；ry类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为 x0 时，无意义，即xytanxytan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有 x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即 tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从xy)(2Zkk而有tancossinyyy)(2ZkkRRcscseccotyyy)()(2)(ZkkZkkZkk4.注意:0xy2400-5100(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在
6、原点，始边都与x轴的非负半 轴重合. (2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说 明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标 轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关. (6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角 函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三 角函数
7、是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐 标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数 值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割 函数值是距离比纵坐标. (7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角 坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我 们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 三、讲解范例：三、讲解范例： 例例 1 1 已知角的终边经过点P(2，3)(如图)，求的六 个三角函数值. 解：x2，313)3(222r于是
8、 13133133sinry13132132cosrx23tanxy32cotyx213secxr313cscyr例例 2 2 求下列各角的六个三角函数值.(1)0 (2) (3) (4) 23 2解：(1)因为当0 时，x，0，所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0 不存在 sec0=1 csc0 不存在 (2)因为当时，x，0，所以 sin0 cos1 tan0 cot不存在 sec1 csc不存在(3)因为当时，x0，所以23不存在 023cos 123sin 23tan023cot不存在 23sec123csc(4)当=时 ,所以2ryx , 0sin=1 cos=0
9、 tan不存在 cot=0 2 2 2 2sec不存在 csc=12 2例例 3 3 填表：030456090120135150180270360弧度sincostan例例 4 4 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+cos的值 解：由定义 ： sin= cos= 2sin+cos=5r53 54 52若 则 sin= cos= 2sin+cos=0aar553 54 52若 则 sin= cos= 2sin+cos=0aar553 54 52例例 5 5 求函数的值域xx xxytantan coscos解： 定义
10、域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上 又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=20, 0yx当 x 是第象限角时,|cosx|=cosx |tanx|=tanx y=20, 0yx当 x 是第象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=00, 0yx当 x 是第象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx y=00, 0yx四、课堂练习四、课堂练习：1.若点P(3，)是角终边上一点，且，则的值是 .答案：32sin5562.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a0)，求
11、sin+2cos的值. 解：依题意得：x=5a,y=-12a, |13)12()5(2222aaayxr(1)当a0 时，角是第四象限角，则,135cos,1312 1312sinrx aa rysin+2cos=-; 132(2)当a0 时，角是第二象限角，则.135cos,1312 1312sinrx aa rycos+2cos=.132五、小结五、小结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数 的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比 变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆， 至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到. 六、课后作业六、课后作业：试卷一份补充：的终边上一点P的坐标是（x，2）(x0)，且，求 sin和3cosxtan的值.分析：，又，即x3x42xrrxx3cos由于x0，3 x249 x25，x.5当x时，P点的坐标是（，2）.5555252tan,32 32sinxy ry当x时，P点的坐标是（，2）55.55252tan,32 32sinxy ry答案：当 x=时，5552tan,32sin当x=时，5552tan,32sin
