“线动成面”的应用

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1、“线动成面线动成面”的应用的应用陕西省定边县第三中学 白治清邮 编：718600 电 话：13402996975“点动成线，线动成面，面动成体.”本文应用“线动成面”的观点，解决几个重要的几何问题.一、椭圆面积公式一、椭圆面积公式求长半轴为 、短半轴为 的椭圆面积.ab如图 1，椭圆方程：，选半径为 的圆：为“参12222 by axa222ayx照物”.两个直角坐标系的 y 轴在一条直线上，单位长度相同.过椭圆长半轴的两个端点作 y 轴的两条平行线，椭圆和圆夹在这两条平行线之间.用平行于 y 轴的任意直线 截椭圆和圆，交椭l圆于 A1、B1两点，交圆于 A2、B2两点.设点 A1的坐标为（）

2、 ，因为点 A1在椭11, yx圆上，所以，1222121by ax用表示，得 y1=.1x1y2 12 1xaaby点 A2的坐标可设为（） ，因为点 A2在圆上，所以21, yx，22221ayx用表示，得 y2=.1x2yxa212线段 A1B1与 A2B2的长度之比椭圆和圆都可以看成是平行于 y 轴的无穷多条线段（如A1B1、A2B2）组成的（线动成面） ，椭圆和圆的面积之比等于线段 A1B1与 A2B2的长度之比，即，所以ab SS圆椭圆S椭圆 =.abaabSab2 圆二、面积射影定理的证明二、面积射影定理的证明面积射影定理 设平面 和 所成的二面角为，在平面内曲边图形的面积为 S

3、，这个曲边图形在平面 内的射影的面积为 S1，则S1=Scos .证明：如图 2，在平面内作直线 AB，垂足为 O， 与曲边图形ll的边缘相交于点 M、N. 作 在平面 内的射影，线段 MN 在平面 l1l内的射影 M1N1在上.1l在 RtOM1M 中，NN1MM1， .cos111 OMOM MNNM平面内的曲边图形可以看作是平行于直线 的无穷多条线段（如 MN）组成的（线动l（常数）. abyyBABA212211成面） ，每一条线段都在平面 内有它的射影，射影的长与原线段的长之比都为 cos，所以曲边图形射影的面积与曲边图形的面积之比为cos，即，所以cos1 SSS1=Scos .三

4、、三角形的重心三、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，初中数学教材中用实验的方法得出这点是三角形的重心，下面在理论上加以证明 .如图 3，作ABC 的中线 AD，用平行于 BC 的任意直线截ABC，交AB 于 E，交 AC 于 F，交中线 AD 于 G . EFBC， .CDFG ADAG BDEG又 BD=CD， EG=FG .点 G 是线段 EF 的中点，点 G 就是线段 EF的重心，线段 EF 的重心在中线 AD 上 .ABC 可以看作是平行于 BC 的无穷多条线段（如 EF）组成的（线动成面） ，每条线段的重心都在 AD 上，所以ABC 的重心就在 AD 上 .同理可证，ABC 的重心也在其它两条中线上，所以三角形三条中线的交点就是三角形的重心 .上面用“线动成面”的观点解决了看似要用高等数学才能解决的问题， “点动成线、线动成面、面动成体”这一思想方法的应用，值得我们深入探究 .（图三）参考文献：两个基本原理的推广及应用安徽师大中学数学教学1998 年第 3 期，白治清。