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1、2017/10/3,高等代数,第一章 多项式,学时：28学时教学方法和手段 由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。基本内容和教学目的本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。本章的重点和难点重点:一元多项式的因式分解理论.难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.,2017/10/3,高等代数,1.1 数环和数域,研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。,比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、
2、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。,例如,2017/10/3,高等代数,我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。,在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中,代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。,（即运算是否封闭）。,运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。,例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数
3、，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。,2017/10/3,高等代数,根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。,一、数环,设S是由一些复数组成的一个非空集合，,则称S是一个数环。,整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集,C都是数环。,例如：,1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？,问题：,2、有没有最小的数环？,例1：设a是一个确定的整数。令,定义1：,2017/10/3,高等代数,则S是一个数环。,特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。,问
4、题：,3、一个数环是否一定包含0元？,例2：证明,是一个数环。,问题：,2017/10/3,高等代数,定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充,要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。,二、数域,定义2：,设F是一个含有不等零的数的数集，如果F,则称F是一个数域。,有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，,例如：,则称F是一个数域。,中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，,且是三个最重要的数域。,2017/10/3,高等代数,问题：,7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？,例3：证明,是一个数域。,证明要点：,2017/10/3,高等代数,8、一个数域必包含哪两个元素？,
5、问题：,9、最小的数域是什么？,定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。,证明：设F是一个数域，则,于是,对,故,10、在判断一个数集是不是数域时，实际上,问题：,2017/10/3,高等代数,要检验几种运算？,设F是一个含有非零数的数集，则F,定理1.1.3：,问题：,例：对任意素数P，,是一个数域。,在R与C之间不可能有别的数域。,设有数域F，使,，故,设x=a+bi，且,数不为零）仍属于F。,是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除,2017/10/3,高等代数,可见F=C。,问题：,两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。,2017/10
6、/3,高等代数,1.2 一元多项式的定义和运算,2017/10/3,高等代数,一、多项式的概念,中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。,例：,4a+3b，,在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数：,但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,2017/10/3,高等代数,问题：,1、高等代数中采用什么观点定义多项式？,定义1：,设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数,其中,，称为数域F上的一元多项式。,常数项或零次项,首项首项系数,称为i次项系数。,2017/10/3,高等代数,高等代数中采用形
7、式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,系数可以是任意数域。,例1.2.1：,是Q上多项式；,是R上多项式；,是C上多项式。,都不是多项式。,2017/10/3,高等代数,定义2：,是两个多项式，,除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3：,设,最高次项，亦称为首项。,2017/10/3,高等代数,例1.2.2：,零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。,零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式：首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4：,设,是数域F上次数分别,
8、定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这,2017/10/3,高等代数,。当mn时，取 。,2017/10/3,高等代数,例1.2.3：设,其中,相乘积的和作为,的系数。得：,把 中两个系数下标之和为k的对应项,2017/10/3,高等代数,多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：,加法交换律：,加法结合律：,乘法交换律：,乘法结合律：,乘法对加法的分配律：,2017/10/3,高等代数,下面证明多项式乘法满足结合律。,证：设,现证,这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。,2017/10/3,高等代数,左、右两边同次项的系数相等，,乘法满足结合律。,三、多项式的次数定理,定
9、理2.1.1：设,2017/10/3,高等代数,证：设,多项式乘法没有零因子。,2017/10/3,高等代数,推论1：若,证：若f=0或g=0，则必有fg=0。,反之，若,，矛盾。,乘法消去律成立。,则,证：,2017/10/3,高等代数,定义5：,对多项式的加、减、乘法是否封闭？,上的多项式环。,对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F,2017/10/3,高等代数,1.3 整除性理论,2017/10/3,高等代数,一、多项式整除的概念,多项式的整除性,设,，记为：,整除的基本性质,性质1：,若,2017/10/3,高等代数,则,。（传递性）,证：,使,性质2：,若,，则 。,证：,2017
10、/10/3,高等代数,性质3：,若,，对 。,证：,性质4：,若,则对,有,性质5：,若,则,2017/10/3,高等代数,证：,为常数。,性质6：,且,则,性质7：,带余除法定理,定理1.3.1：,则存在,使得,2017/10/3,高等代数,商式,余式,证：先证存在性。,2、设,当nm时，显然取,现考虑次数为n的情况。,，即知结论成立。,2017/10/3,高等代数,的次数小于n或为0。,于是,取,就有,，结论成立；,2017/10/3,高等代数,再证唯一性。,若有,则,若,则,故,从而,2017/10/3,高等代数,推论1：,证：,充分性。,则有,必要性。,例1.3.1 设,2017/10
11、/3,高等代数,例1.3.2：,证：,充分性显然。,下证必要性，,设,于是,由于 ，,故 。,多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么,问题：,多项式的整除性不因数域的扩大而改变,2017/10/3,高等代数,结论：,证：,2017/10/3,高等代数,这一等式仍然成立。,2017/10/3,高等代数,1.4 多项式的最大公因式,2017/10/3,高等代数,一、两个多项式的最大公因式,定义1：,若,的一个公因式。,定义2：,2017/10/3,高等代数,问题：,1、如何求两个多项式的最大公因式？,2、最大公因式是否唯一？,引理：,若,与,公因式和最大公因式。,证：,2017/10/3,
12、高等代数,反之同样成立。,2017/10/3,高等代数,进行如下的辗转相除：,（1.4.1）,当进行到某一步时，余式为0。,2017/10/3,高等代数,于是得,定理1.4.1：,后得一系列等式（1.4.1），则,的最大公因式为 。,定理1.4.2：,中任意两个多项式,由于余式的次数不断降低，而,2017/10/3,高等代数,证明：,1、若,显然有,任意。,3、若,使,则由定理1.4.1知，经辗转相除后可求出它们的最,2017/10/3,高等代数,则有,即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。,2017/10/3,高等代数,例1.4.1：,设,使,解：（利用辗转相除法）,二、两个多项式互素,若,
13、定义3：,定理1.4.5：,的充要条件是存在,使,2017/10/3,高等代数,多项式互素的性质。,性质1：,若,则,证：,性质2：,则,证：,2017/10/3,高等代数,性质3：,则,证：,代入上式即知,三、多个多项式的情况,定义4：,设,的公因式，,2017/10/3,高等代数,则,性质1、,使 。,性质3、若,2017/10/3,高等代数,例1.4.2 设,互素，但 。,性质5、,注意：,2017/10/3,高等代数,1.5 多项式的分解,2017/10/3,高等代数,在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也
14、就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是，除了平凡因式外，,还有没有其他的因式？,2017/10/3,高等代数,定义1.5.1,等价定义：,在数域F上可约。,2017/10/3,高等代数,由定义可得：, 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质1,性质2,2017/10/3,高等代数,则,证：设,证：,2017/10/3,高等代数,由性质2，,推论：,二、因式分解,问题：,是否可分解为,不可约多项式的乘积？,定理1.5.1：,2017/10/3,高等代数,证（归纳法）：,n=1时，命题显然成立。,假设命题对一切小于n的多项式成立，则当,时，,多项式的乘积。,问题：,2017/10/3,高等代数,则,定理1.5.2：,中任一个次数大于零的多项式,分解成不可约多项式的乘积：,成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两,
