如何求数列的极限

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1、如何求数列的极限如何求数列的极限作者：陕西洋县中学 刘大鸣 梁杰 数列极限定性地刻画了项数趋向无穷大时，项 的变化规律，起决定因素的是数列通项公式.常依 据数列数列的通项，适当地变形，利用数列极限 的定义、结论和运算法则求解. 1 “抓通项” ，利用数列极限的定义求解. 数列的通项揭示了数列的项和项数之间的函数 关系，而数列极限揭示的是数列的项随自变量项 数趋向无穷大时的变化规律，为此，求数列的极 限首先思考数列极限的定义，运动变化、函数观 念研究初等函数值域随自变量的变化规律，当函 数值域无限趋近唯一的一个常数时，这个常数就 称为数列的极限；当函数值域无限增大或趋近的 常数不唯一，这个数列的

2、极限就不存在.利用数列 极限定义，研究函数值域随自变量的变化趋势， 可证的几个基本极限结论为， 10q-1as11q1110lim01lim1nnqslimqqqqnCCClimnnnn项和无穷递缩等比数列的各；或不存在；为正常数；为常数2 “抓通项，恒等变形” ，化归用基本数列极限 结论求解 通项为分式类的数列的极限，先对通项变形使 分子和分母的极限都存在，然后求极限，其值为 0、系数比或不存在，常以“极限已知待定参数” 考查逆向思维的问题；对通项含根式的分式类数 列的极限，为使“分子和分母的极限都存在” ，常 常“分子或分母有理化”化归基本数列的极限结 论求解.例 1 ; 的取值范围求实数

3、已知a31133lim1n,annn 的值和，求若babannn011lim2n简析： 用数列运算法则，分子和分母的极限 均不存在，对通项变形，利用结论的条件构建不 等式解范围.依题意有，.a,a,alim,alimnnnn24131031 313131 用数列运算法则，分子和分母的极限均不存在，对通项变形化为基本数列极限研究待定系数. 依题意有， 100111lim1,a0,a10,a-10111n2 b ,ba,nnbba,nbnbanalim n故必有则极限不存在，若例 2 13422nnnlim n的值和，求若bacbnann25lim2 n简析： 用运算法则，分母极限无法确定，分 母

4、有理化 .nnnlimnnnnlim nnnlimnnn38 13113141313413422222 用运算法则，极限无法确定，分子有理化 .ba, aba ,nc nbancbna limcbnanncbnannlimcbnanncbnanncbnannlimcbnannnnn 2025 25025 2255255555lim22222222 n3 利用“有限项的和取极限与各项和之间的关 系”求解 数列的极限与数列的和密切相关，无穷递缩等 比数列的各项和，总可以化为有限项和取极限， “无限和化为有限项的和的极限，有限和的极限 转化为各项和用公式”的相互转化是解决数列问 题的一种“进化”.

5、例 3 (94 高考)设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，且对一切自然数 n，an与 2 的等差中 项等于 Sn与 2 的等比中项， 求数列an的通 项公式； nbbb,aa aan nnnn 21n11 nlim21b求令简析： 先猜后证.易求，a1=2,a2=6,a3=10,猜an=4n-2.用数学归纳法证明. 当 n=1 时，显然成立；假设 n=k 时成立，即 ak=4k-2.由题设有，而一般数列的切11222,222 kk kkSaSa入点为 ak+1=Sk+1-Sk=,将假22 1)2(81)2(81kkaa设 ak=4k-2 代入整理有，解方程有，01644212kaa

6、kk，这就是说，当时猜想也成241kak1 kn立.由和 猜想成立.即 an=4n-2.也可用“为nSan的二次函数，则an为等差数列”探究解题思 路.由一般数列的切入点 ak+1=Sk+1-Sk=，注意题设化简整理有，22 1)2(81)2(81kkaa，易求 an=4n-2.41kkaa 由和的特征构建通项化简，先求和再取极限.nlimnbbblim,nnnnbbb,nnnn nn aa aabnnnnnnnn n112111211121 12151 31 311121 1211121211212 212211212111 的取值范围求，满足项和等比数列前例a,aaSlimSnnn11n4

7、1 1 简析：数列极限与不等式简单综合，利用有限项 和与无限项和的关系，构建不等式解范围.依题意，.a,a,q,qa,aqa21111011 112 12 1 11例 5（03 高考）在边长为 L 的等边三角形 ABC 中，圆 O1为三角形 ABC 的内切圆，圆 O2与圆 O1外切且与 AB、BC 相切，圆 On+1圆 On外 切，且与 AB、BC 相切，如此继续下去，记圆 On的面积为 an,求.nnaaalim 21简析：探求相邻两个圆的半径满足的递推关系， 将有限项和的极限化为无穷递缩各项和求解.设 rn 为圆 On半径，易有， .L qaaaalim,q ,L,a,nrr,sinrrr

8、r,LsinLrnnnnn nnnn323 191 12a23130633022 1 212110110 1 是无穷递缩等比数列4 极限运算法则中的“线性表示”和“先求和 再取极限”例 6 12 12 11lim222nnn nn求简析：若分别求极限其值为 0.而先求和再取极 限， 22212 11 12 12 11lim2222n nn nlimnn nnn追其原因将极限的运算法则适应于有限个数列的 和、差、乘、的数列的极限的运算法则照搬到无 限数列中去，超出了法则的使用范围,应“先求和 再取极限”.例 7 nnnnnnnba,balim,ba 3lim14376lim nn求已知简析:先求

9、出的极限,再求值,已经犯错误”nnb ,a和差的极限存在,各自的极限也存在”;应用已知 的极限线性表示所求的极限,.balimbannnnn243316lim31n 原式5 构建数列极限的模型解决实际应用问题. 例 8 某市电话费为每 3 分钟 0.18 元，现调整为 前 3 分钟电话费为 0.22 元，超过 3 分钟，每分钟 0.11 元计费，与调整前相比，一次通话提价的百 分比（ ）.A 不会高于 ; B.会高于而不会高于 ; 107 107 109C.不会低于. D.高于而低于 1.101 103简析 ：构建数列极限模型，用数列极限思想求 解.考察通话 3 分钟的收费，原价 0.18 元

10、，现价 0.22 元，提价少于 0.3,排除 D. 用极限思想，通 话 3n 分钟，原价 0.18n 元，现价（0.33n-0.11）元，若注意到而, 65 18. 011. 015. 0nnlin n107 65 109故选 B. 例 9 当 n 为自然数时，求所有函数 y=n(n+1)x2- (2n+1)x+1 的图象在 x 轴上所截的线段的长度的总 和 S. 简析 ：构建数列极限的模型，将所有线段的长 度和化为前 n 项和的极限求解.易知,函数在 x 轴 上的交点横坐标分别为 1/n,1/n+1,则 1111 31 21 211 nnlinSlinS nnn例 10(02 高考) 某城市

11、 2001 年汽车保有量为 30 万辆，预计次后每年报废上一年汽车保有量的 0.06,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么 每年新增汽车数量不应超过多少辆. 简析: 构建线性递推关系，利用数列极限的概 念求解.设 2001 年末汽车保有量为 b1,以后各年末 的汽车保有量分别为 b2,b3,bn,每年新增汽车 数量 x 万辆，则 b1=30,b2=0.94b1+x, bn+1=0.94bn+x=0.942bn-1+(1+0.94)x=,所以，bn+1=0.94nb1+x(1+0.94+0.942+0.94n-1)=0.94nb1+(1-0.94n)x/0.06=x/0.06+(30-x/0.06) 0.94n,依题设 bn60(n=1,2,3, ,), 就是 300.94n-1+ 60 恒成立，解这个关06. 0)94. 01 (nx于 x 的不等式得，x1.8(1+),设 f(n)= n94. 0111.8(1+),则 f(n)是关于 n 的减函数,由数n94. 011列的极限概念知，f(n)f(n)=3.6.要使上不 nlim等式恒成立，当且仅当 x3.6.故每年新增汽车不 超过 3.6 万辆.陕西洋县中学 (723300) 刘大鸣 电话 (宅) 0916-8215676 05.9.6.