《高数第二篇线性代数 二次型及其矩阵表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 二次型及其矩阵表示（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章第五章 二次型二次型5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示5.25.2 标准形标准形5.35.3 唯一性唯一性5. 5.4 4 正定二次型正定二次型 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、n n元二次型元二次型二、非退化线性替换二、非退化线性替换三、矩阵的合同三、矩阵的合同四、小结四、小结5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示解析几何中选择适当角度 ,逆时针旋转 坐标轴 (标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入问题的引入 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示代数观
2、点下作适当的非退 化线性替换只含平方项的多项式二次齐次多项式(标准形) 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、n n元二次型元二次型1 1、定义、定义 设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）n个文字 的二次齐次多项式 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示注意注意2. 式 也可写成1. 为了计算和讨论的方便,式中 的系数写成 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示（1） 约定中aij=aji，ij ，由 xixjxjxi，有2 2、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示
3、则矩阵A称为二次型 的矩阵（matrix）. 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示（2）令 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示于是有 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示注意注意2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.若 且 ，则1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即（这表明在选定文字 下，二次型完全由对称矩阵A决定.) 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示练习练习1 1 写出矩阵表示1. 实数域R上的2元二次型 3. 复数域C上的4元二次型2. 实数域R上的3元二次型 5.15.1 二次型及其
4、矩阵表示二次型及其矩阵表示练习练习2 2 写出下列二次型的矩阵其中 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二、非退化线性替换二、非退化线性替换1 1、定义、定义是两组文字,关系式称为由 的一个线性替换;若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation). 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示.0是非退化的.例1变换 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示2 2、线性替换的矩阵表示、线性替换的矩阵表示则可表示为X=CY 若|C| 0，则为非退化线性替换. 5.15.1 二次型及其矩阵表
5、示二次型及其矩阵表示3 3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 是一个 二次型. 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示三、矩阵的合同三、矩阵的合同1. 合同具有对称性（symmetry）：反身性（reflexivity） ：注意注意1 1、定义、定义 设 ，若存在可逆矩阵使 ，则称A与B合同(congruent). 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示3. 与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. 2. 合同矩阵具有相同的秩.即C1C2可逆.传递性（transitivity）: 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示2 2、经
6、过非退化线性替换，新二次型矩阵与、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY原二次型矩阵是合同的原二次型矩阵是合同的. . 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示例2 证明：矩阵A与B合同，其中一个排列. 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示四、小结四、小结n n元二次型元二次型：非退化线性替换：非退化线性替换：，或X=CY， |C| 0.基本概念矩阵的合同：矩阵的合同： 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示基本结论1、二次型经过线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型XAX经非退化线性替换化为二次型YBY与合同，即存在可逆阵，使 .
