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1、2.2 证明不等式的基本方法分析法与综合法 教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. 教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理 教学过程： 一、复习引入： 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？ 2、今天学习证明不等式的基本方法分析法与综合法 二、讲授新课：1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列 的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果 法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：
2、例 1、已知 a,b,c 是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式： a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式： a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2 的“和”，右边有三正数 a,b,c 的“积”，我们可以创设运用重 要不等式：a3+b3+c33abc.(教师引导学生，完成证明） 解：a0,b2+c22bc 由不等式的性质定理 4，得 a(b2+c2)2abc. 同理 b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 因为 a,b,c 为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而,三式
3、也不能全 取“=”号. 由不等式的性质定理 3 的推论，,三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、 性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待 证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时 贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其 中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练：已知 a,b,c 是不全相等的正数，求证： 例 2、已知
4、 且 ，求证： 分析：观察 要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是 2 的 次方，再结合 ，发现如果能将左边 转化为 的乘积，问题就能得到解决。 2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条 件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等） ，从而得出要证的命题成 立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。 用分析法证明不等式的逻辑关系是： 分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是：为了 证明命题 B 为真，这只需要证明命题 B1 为真，从而有这只需要证明命题 B2 为真，从 而又有这只需要证明命题 A 为真，而已知 A
5、为真，故 B 必真。 例 3 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。 点评：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析 法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析 时贵在变形,不通思变,变则通! 证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法. 在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法. 例 4、已知 ，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母 的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考
6、虑用 三、课堂练习： 1、已知 a,b,c,dR,求证：ac+bd 分析一：用分析法 证法一：(1)当 ac+bd0 时,显然成立 (2)当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) 即证 a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcdb2c2+a2d2即证 0(bc-ad)2 因为 a,b,c,dR,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abc
7、d+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2 |ac+bd|ac+bd 故命题得证 分析三：用比较法 证法三：(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20, (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 |ac+bd|ac+bd, 即 ac+bd 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式 成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去 分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用. 2、已知 且 求证： （分析法） 四、课堂小结： 综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 五、课后作业： 课本 P2526 习题 2.22,3,4,5,6,7,8,9
