高数线性代数 11 章 矩阵位移法

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1、结构力学A（2）讲课老师：丁北斗 联系方式：15952228119 E-mail：讲课内容： 1.矩阵位移法: 34课时 2.极限荷载：34课时 3.弹性稳定：1012课时 4.动力学部分：1214课时 总课时：32课时 考核方式： 平时成绩（3040%）； 试卷成绩（6070%）；参考文献：1 龙驭球，包世华，匡文起，袁驷. 结构力学II专题教程（第2版）M. 高等教育出版社, 2006. 2 刘玉彬，白秉三. 结构力学（下册）M. 北京: 科学出版社, 2004. 3 朱慈勉.结构力学（下册）M. 高等教育出版社, 2004.4 刘金春.结构力学（下册）M. 华中科技大学出版社, 2008

2、. 5 谭也平.工程结构电算与OOP编程M.北京:中国建材工业出版社,1999 6徐荣桥.结构分析的有限元法与MATLAB程序设计M. 北京：人民交通出版社, 2006. 7廖日东.有限元法原理简明教程M.北京:北京理工大学出版社,2009第 11 章 矩阵位移法11. 1 概述 矩阵位移法有限单元法雏形（也称：杆件有限元法）。以传统结构力学理论（位移法）为基础；以矩阵作为数学表述形式；以电子计算机为计算手段。（三位一体） 历史回顾1943年R. Courant首先提出有限元法思想。有限元法 数学理论基础：变分原理，变分法；1946年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；50年代由航空结构工

3、程师发展，逐渐波及土木工程；20世纪60年代，1960年由R. H. Clough命名为“有限单元法”（FEM)以来，有限元法蓬勃发展。不仅结构分析必不可少，而且成为“现象分 析”的一种手段（场问题、时间维问题等）。 1967年首次出版专著，监凯维奇（O. C. Zienkiewicz）与其学生张佑启（Y. K. Cheung ) 合写结构与连续力学的有限元法( 张后来成 为“有限条法”创始人）, 该书成为世界名著，第三版中译本名为有限元法。20世纪70年代大型有限元通用程序出现，K-J. Bathe的SAP程序、ADINA程序（建立在 DOS系统），现代建立于WINDOW系统的有 ANSYS

4、程序、ALGOR程序等等。我国计算机发展迅速、普及应用，创立了 “计算结构力学”新学科。单元形式的发展名目繁多，方法各异。如：杆件单元、三角形单元 、矩形单元、等参元、样条元、杂交元、边界 元、有限条。 结构分析（手算）力法位移法混合法 结构矩阵分析（电算）矩阵力法（柔度法）矩阵位移法（直接刚度法)矩阵混合法 结构矩阵分析方法： 以结构力学的原理为基础用矩阵代数表达计算公式 电子计算机为运算工具 矩阵位移法：传统位移法思路矩阵公式推演电子计算机程序应用 矩阵位移法程序简单、通用性强，适用各种杆系结构。 手算怕繁、电算怕乱11.2 矩阵位移法的概念 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的

5、方法。杆系结构的有限单元法矩阵力法矩阵位移法柔度法刚度法(直接刚度法)*矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析 。在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式 ；整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。返回下一张 上一张小结 基本原理与传统的位移法相同：1. 以结点位移为基本未知量

6、；2. 基本环节： （1）离散化：整个结构分解为若干个单元（在杆件结 构中，通常取一根杆件为一个单元）； （2）单元分析：分析单元的杆端力和杆端位移及荷载 之间的关系； （3）整体分析：利用结构的变形协调条件和平衡条件 将各单元集合成整体结构，得到求解基本未知量的矩 阵位移法的基本方程 。11.1.1 矩阵位移法的基本思路单元分析：满足单元杆端力与单元杆端位移之间的物理关系。整体分析：满足整体的平衡条件和变形协调条件。 与传统位移法不同点：矩阵表示，编程电算。（通常采用一般单刚，考虑轴向变形）。 按先于或后于整体分析处理约束条件，又分 为：矩阵位移法的先处理法，矩阵位移法的后处理法。11.1.

7、2 结构的离散化与正负符号规定 （1）结构的离散化 划分单元与编码 局部（单元）坐标系 局部（单元）编码： 杆端码 1 , 2 (或i, j) 杆端位移（力）码 局部码 整体（结构）坐标系 整体（结构）编码 ： 单元码 结点码ABCD（或1 2 3 4 ） 结点位移（力）码 总码1 2 3 4 （单元杆端位移列阵 与 单元杆端力列阵）（2）杆端位移、杆端力的正负号规定与坐标轴正方向一致 或 顺时针为正11.2 单元分析(一)局部坐标系中的单元刚度矩阵 单元杆端力和杆端位移之间的转换关系称为单元刚度方程，它表示单元在杆端有任意给定位移时所产生的杆端力。而单元刚度矩阵 是杆端力与杆端位移之间的转换

8、矩阵。忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。11.2.1 一般杆件单元的刚度矩阵（3）一般单元刚度矩阵的奇异性, 是奇异矩阵，因此不存在逆矩阵。注意：单元刚度方程中如已知杆端位移，则可由方程直接计算出杆端力，且是唯一解； 如已知杆端力，则不一定能计算出杆端位移,可能无解，如有解，则为非唯一解。11.2.2 单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义中的每个元素称为单元刚度系数，代表 由于单位杆端位移所引起的杆端力。 某一列的六个元素分别表示当某个杆端位 移分量等于1时引起的六个杆端力分量。 （2）单元刚度矩阵的对称性, 根据反力互等定理得出的结论

9、， 是对称矩阵。11.2.3 特殊单元（1）忽略轴向变形的梁单元的刚度方程（2）连续梁单元的刚度方程11.3 单元分析(二)整体坐标系中的单元刚度矩阵11.3.1单元坐标转换矩阵1、两种坐标系中单元杆端力的转换式：2、单元坐标变换矩阵（正交矩阵）：3、两种坐标系中单元杆端位移的转换式： 11.3.2 整体坐标系中的单元刚度矩阵 称为整体坐标系中的单元刚度方程。称为整体坐标系中的单元刚度矩阵。 两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系：P22 ： 例题11-311.4 连续梁的整体刚度矩阵 建立整体刚度方程的两种方法：传统位移法 （考虑每个结点位移对F的单独贡献）。单元集成法（也称刚度集成法或直接刚度

10、法），举例：整体分析：建立整体刚度方程（结构结点力与 结点位移的关系），导出整体刚度矩阵。11.4.1 单元集成法的基本概念单元集成法：考虑每个单元对F的单独贡献。结点码(总码）1 2 3，再结点位移码杆端码(局部码) i j，再杆端位移码( )杆端位移 结点位移 变形协调条件 单元集成法求整体刚度矩阵的步骤：第一步，由单元刚度矩阵ke ，求单元贡献矩阵K e 。第二步，叠加各单元贡献矩阵，得到整体刚度矩阵K 。结点力 杆端力 平衡条件11.4.2 单元定位向量i ji j对号入座先定位后累加先定位后累加 边定位边累加11.4.3 单元集成法的实施11.4.4 整体刚度矩阵的性质 （1）整体刚

11、度系数的意义K中的元素Kij为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量j=l（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi。（2） K 是对称矩阵、稀疏矩阵和带状矩阵.（3）按先处理法计算连续梁时 ，K 是可逆矩阵。11.5 刚架的整体刚度矩阵 11.5.1 单元定位向量与单元集成 （1）结点位移分量的统一编码总码整体坐标总码 x向 y向向 单元局部码 1( i )端2( j )端11.5.2 铰结点的处理更一般矩阵位移法基本方程为为结点荷载列阵， 为结点位移列阵。 二、等效结点荷载结构受非结点荷载作用，计算分两步：11.6 等效节点荷载：（1）在各结点加约束（b图）局部码 各结点的约束力

12、矩(结点采用整体编码)分别 为该结点的相关单元固端力矩之和：（2）去掉各结点的约束使结构仍然恢 复原状。相当于在各结点施加外力偶荷 载P0 P0称作原来非结点荷载的等效结点荷载 (3)因11-14(b)，(c)两种情况叠加就得到图11-14(a)所 示的情况，但图11-14(b)中各结点由于附加约束，在非 结点荷载作用下不会产生位移，则图11-14(c)中的结点 位移就是实际的结点位移。所以求结点位移时，可以用 等效结点荷载代替非结点荷载的作用。(4) 连续梁在非结点荷载作用下的杆端弯矩由两部分组 成：一部分是在结点加阻止转动约束条件下的杆端弯矩 ，即各杆的固端弯矩；另一部分是在等效结点荷载作

13、用 下的杆端弯矩，将两部分杆端弯矩叠加起来，即得出非 结点荷载作用下各杆的杆端弯矩。 等效结点荷载由各单元附加约束反力矩集 成并且反号；也可先将各单元附加约束反力 矩反号（称之为单元等效结点荷载），然后 再集成。 于是，等效结点荷载的求法为 : （1）在结点上加附加约束，在原来荷载作用 下，求各单元附加约束反力矩 FP e ， 反其 方向（或不反方向，而改变正负号）， 即得 各单元等效结点荷载 PE e = FP e 。 （2）应用单元定位向量，将各单元等效结点 荷载换码累加成结构等效结点荷载PE 。结构综合结点荷载P 由等效结点荷载PE 和直接结点荷载PJ 组成。P =PE +PJ 注意等效

14、含义!在 图 c与图a中，除了杆端转角而外，其它 位移和内力并不等效，图a等于图c加图b。 三、刚架等效结点荷载 按单元集成法求整体的等效结点荷载 （1）局部坐标系单元的等效结点荷载列阵 在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给定荷载作用下，可求出六个固端约束 力，它们组成固端 约束力向量(载常数）：将固端约束力 反号，即得到单元等效 结点荷载列阵（局部坐标系） ： 。 单元固端力反号坐标转换定位累加结构综合结点荷载P 由等效结点荷载PE 和直接结点荷载PJ 组成。P =PE +PJ （2）整体坐标系单元的等效结点荷载列阵由坐标转换公式得 （3）整体坐标系结构的等效结点荷载列阵 依次将每个列阵中的元素按单元定位向量定 位并且 累加，最后即得到 。P27：例题11-4一、求单元杆端力一、求单元杆端力各杆的杆端内力是由两部分组成： 一部分是在结点位移被约束住的条件下的杆端内力，即各杆的固端约束力 。另一部分是刚架在等效结点荷载 作用下的杆端内 力，将两部分内力叠加，即得 。 由 ，其中 ，由于 则