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1、医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）- 35 -第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。设h(x)=f(x)+f(-x), 则h(-x)= f(-x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。2. 错。y=2lnx的定义域(0,+), y=lnx2的定义域(-,0)(0,+)。定义域不同。3. 错。故无界。4. 错。在x0点极限存在不一定连续。5. 错。逐渐增大。6. 正确。设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。7. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)-f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x
2、=x0处也连续，与已知条件矛盾。8. 正确。是复合函数的连续性定理。二、选择题题解1. 2. y=x (C)3. (A)4. (B)5. (B)6. (D)7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A)8. 设,则，连续，由介质定理可知。 (D)三、填空题题解1. 2. 是奇函数，关于原点对称。3. ,。4. ,可以写成。5. 设，6. 有界，故极限为0。7. 8. ,而，得c=6, 从而b=6, a=-7。9. 10. 11. 设u=ex-1，12. 由处连续定义，得：a=1。四、解答题题解1. 求定义域(1) , 定义域为和x=0(2) 定义域为(3) 设圆柱底半径为r，高为h，
3、则v=pr2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。(4) 经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为0,+)。2. ，。3. ,。4. 证明：。5. 令x+1=t, 则x=t-1。，所以：。6. 求函数的极限(1) 原式=。(2) 原式=。(3) 原式=。(4) 原式=。(5) 原式=。（P289常见三角公式提示）(6) 原式=，令，则，令，则，原式=。(7) 原式= e3。(8) 原式= e2。(9) 原式=。(10) 令，则，原式=(填空题11)。7. ，, =8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量(1) ，为无穷小量。(2) ，为无穷小量。(3) ，为
4、无穷小量。(4) ，为无穷大量。9. 比较下列无穷小量的阶，当x1时，1-x与1-x3是同阶无穷小。1-x与是等阶无穷小。10. 当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x1时，是无穷小量，当x0时，是无穷大量；当x+时，e-x是无穷小量，当x-时，e-x是无穷大量。11. 。12. ，b=1，=1，a=-113. ，14. 设，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0使得，即。15. 设，它在0,a+b上连续，且，若，则a+b就是方程的根。若，由介质定理推论知：至少存在一点x(0, a+b), 使得,即x是的根。综上所述，方程至少且个正根，并且它不超过a+b。16. (1
5、)(g)；(2)(g)；(3)(周)。17. 设，则F(x)在a,b上连续，由介质定理推论知：至少存在一点x(a, b), 使得。即。所以与在(a,b)内至少有一个交点。第二章 一元函数微分学习题题解(P66)一、判断题题解1. 正确。设y=f(x), 则。2. 正确。反证法。假设在x0点可导，则在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。4. 错。如图。5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。7. 错。设, ，则：，显然在点的导数为1，在点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。8. 错。设和，显然它们在
6、(-,+)上是单调增函数，但在点的导数为0，的导数不存在。二、选择题题解1. 设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为：过得，又有，解方程组得：，切线方程为：。(A)2. 可导一定连续。(C)3. 连续但不可导。(C)4. 因为。(B)5. ，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。6. 可导。(C)7. ，。(B)8. 。(B)三、填空题题解1. ,。2. 3. , 。4. 。5. ，当时，单调调减小。6. 。7. ，当时，由减变增，取得极小值。8. ，。四、解答题题解1. 2. (1)不存在，在不可导。(2) ，在可导，且。3. 不可导。4. 过与两
7、点的割线斜率为，抛物线过x点的切线斜率为，故，得，即为所求点。5. 过点作抛物线的切线，设切点为，应满足方程，若方程有两个不等的实根x，则说明过点可作抛物线的两条切线。整理方程得：，当时，方程有两个不等的实根。也就是要满足即可。6. 求下列函数的导数。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 7. 求下列函数的导数。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. ，。9. 求下列函数的导数。(1) ，(2) ， (3) ,，,(4) ，, 10. 求下列函数的n阶导数。(1) ，(2) ，(3) ，11. 求下列隐函数的导数。(1) ，(2) 同填空题3。, 。(3) (4) 12
8、. 求下列函数的微分。(1) (2) (3) (4) 13. 求、近似值。(1) 设，则，取，则，故(2) 设，则，取，则，故14. 证明下列不等式。(1) 设，则，在上单调递减。当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，当时，。(2) 设,当时,有,即；设,当时,有,即；综上所述，当时，有。(3) 设，则，当时,，有，即；当时,，有，即；综上所述。15. 求下列函数的极限。(1) =(2) =0(分子和分母分别求n阶导数，使nq)(3) =(4) =(5) =(6) =16. 证明下列不等式。(1) 令,因为f (x)=cosx-10 (x0), 所以当xf(0)=0 sinxx ；令g(x)
9、=, 则：g(x)=，g(x) = - sinx+x, g(x)= - cosx+10 (x0), 有g(x)g(x) g(0)=0g(x)g(x) g(0)=0 sinxx-x3/6。综上所述： xsinx0,有极小值，17. 确定下列函数的单调区间。(1) ，定义域(-,+)，令，解得，增减性如下表：x(-,-)-(-,)(,+)y+0-0+y(2) ，定义域(-,+)，令，解得，均是孤立驻点，故在(-,+)单调递增。x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+0-0+y (3) ，定义域(-,+)，=，令，解得，增减性如右表： x(-1,0)0(0,+)y-0+y极小值为018. 求下
10、列函数的极值。(1) ，定义域(-1,+)，=，令，解得，极值见右表：x(0,)(,+)y-0+y极小值为(2) ，定义域(0,+)，=，令，解得，极值见如右表：(3) ，定义域(-,0)(0,+)，令，解得，有极大值，有极小值。19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。(1) 是-1,1上的连续函数，减函数且无驻点，但有一个不可导点，它不在-1,1上，故，。(2) 是-10,10上的连续函数，此函数可用分段函数表示，令，得：，比较得：，。(3) 是-5,5上的连续函数，此函数可用分段函数表示，分段点为，无驻点。，比较得：，。20. ，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有，解之得：，。21
11、. ，令，解得，可验证是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。，得证。22. ，两端对t求导数：23将r看作常数，两端对t求导数，得：，。24. (1)求出现浓度最大值的时刻：,令，解得唯一驻点。，=有极大值。也为最大值。(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令，解得唯一驻点。,=有极小值。也为最小值。25. 求何时达最大值。，令，得：。由，而w=341.5，由得无解。由，得：是唯一驻点。，当时，有极大值。也为最大值。26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点x+0-0+y凹拐点3/4凸拐点3/4凹(1) ，定义域(-,+)，令，得，列表讨论。(2) ,定义
12、域(-,+),令,得,当时,曲线是凹的。当时,曲线是凸的。拐点为：。27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。(1) ，定义域(-,+)，是偶函数，有水平渐进线，x0+0-+0-0-0+y拐点极大拐点(2) ，定义域(-1,1)，是奇函数，有垂直渐进线，无驻点，但当时导数不存在。，令，得。x-1(-1,0)0(0,1)1无+-+无无-0+无y拐点0(3) ，定义域(-,+)，是奇函数，无渐进线。，令，得驻点，令，得，列表讨论。,x0+0-0+-0+y极大拐点极小(4) ，定义域(-,+)，是偶函数，无渐进线。，令，得驻点，而，列表讨论。x0-0+y极小1(
13、5) ，定义域(-,+)，是奇函数，=，有两条渐进线：。无驻点，令，得x0+0+-y拐点0(6) ，定义域(-,+)，是偶函数，有一条水平渐进线y=p,=，=，。x0-无+-无-y极小028. 已知不在同一直线上的三点、和；试用表示DABC的面积。解：由P55例42知：直线到的距离为：。那么，直线AB的方程为：，AB两点间的距离为：，DABC的面积=29. 椭圆的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三角形DOAB的最小面积。解：椭圆方程：如图。设切点坐标为，则，此点切线斜率为：，切线方程为：。令，坐标。令，坐标。(1) 。可设，令，将代入得：，代入得驻点：，。
14、=有极小值。，故AB之间的最小距离是。(2) 可设面积，=，令，得：，代入得驻点：，(三角形边长取值应大于零)。=有极小值。，故三角形的最小面积为ab。第三章 一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1. 错。是原函数的全体，记作。2. 错。的任意两个原函数之差为常数。3. 错。是。4. 正确。5. 错。被积函数在x=0处无界。6. 正确。，7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。8. 正确。二、选择题题解1. 被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或= =。(A)2. =+=+=。(A)3. 正确的是C。4. =。(D)5. 令，=。(B)6. 令，则，=。(D)7. =，
15、=。(D)或=8. =，=。(B)三、填空题题解1. =。2. = p。3. =。4. = 0。5. =。6. =。7. =。8. 这是积分上限函数，由定理3知：，。四、解答题题解1. 分别对三个函数求导数，结果皆为，所以它们是同一函数的原函数。2. (1) 错。是不定积分。(2) 错。是所有原函数。(3) 正确。设是的一个原函数，则。(4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。(5) 正确。因为时，。3. 求下列不定积分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =4.
16、求下列不定积分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =(17) =(填空题5)(18) =(19) =(20) =(21) =(22) =(23) =(24) =(25) =(26) =(27) =(28) =(29) =(30) =(31) =(32) =5. 求下列不定积分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =6. 求下列不定积分(1) =(2)
17、=(3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =，=(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =7. 求下列不定积分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =8. 求下列不定积分(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =9. 将区间细分为n个小区间，在每个小区间上任取一点,，由于小区间的长度很小，可以近似地认为放射性物质在内是以速度均匀分解。(1) 分解质量的近似值为：(2) 分解质量的精确值为：，10. 用定义计算。y=x2在0,1上连续，定积分存在。故可将0,1区间n等份：0=x0x1xixn=1，且取小区间的右端
18、点。，11. (1)是一个底边长为1高为2的三角形，面积为1。(2)奇函数在对称区间上，定积分为0。(3)偶函数在对称区间上，定积分为2倍的正的区间上的定积分。12. (1)在0,1区间上，由定积分性质知：。(2)在1,2区间上，由定积分性质知：。13. (1) 在1,4区间上，由定积分性质知：。(2) 在0,1区间上是一个单调递减函数，有，由定积分性质知：。(3) 在区间上，由定积分性质知：。14. 由积分上限函数的定理3知，。15. 求下列函数的导数。(1) =(2) =(3) =(4) =16. 求下列极限。(1) =(2) =17. ，令，得驻点：,有极小值，。18. 计算下列定积分。
19、(1) =(2) =(3) =(4) =(5) =(6) =, (7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =(16) =19. 证明：(1) =0，奇函数在对称区间上的定积分为0。(2) =0(3) =020. =，=。21. 由万有引力定律，火箭与地心距离为r时，地球对火箭的引力是。将火箭送至离地面高为H处所做的功为：=，在地球表面引力就是重力，即：， 。22. =5。23. =。24. 如右图所示。=25. 如下图所示。，两条切线线方程为：，其交点坐标为：=。26. 如右图所示。=27. 如右图所示。=28. 如右图所示。=。29.
20、 求曲线在上的弧长。,=，而=30. =31. =32. 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分。(1) = (收敛)(2) = (发散)(3) = (发散)(4) = (收敛)(5) =，=(6) = (收敛)(7) = (收敛)(8) = (发散)33. 当k为何值时，积分收敛或发散？当k=1时，当k1时，=，=第六章 常微分方程习题题解(P186)一、判断题题解1. 错。应该是：微分方程通解中独立任意常数的个数由微分方程的阶所确定。2. 错。有三个变量z, x, y。3. 错。不管C取何值都不为0。4. 错。如是的解，但它既不是通解也不是特解。5. 错。它只有一个独立的任意
21、常数。6. 正确。它的通解为：，当时，7. 正确。8. 错。必须是两个线性无关的解。二、选择题题解1. 在选项(A)中有。2. 在选项(B)中有。3. 通解为：=，(B)4. (B)是一阶微分方程5. 将(C)代入满足方程6. 在选项(C)中，将代入后，有，而7. 在选项(A)中，对x求导数：=。三、填空题题解1. 特征方程为：，特征根为：，通解为：。2. =3. 特征方程为：，特征根为：，通解为：，。该曲线过(0,0)点，且切线斜率为1，有：，得：，。四、解答题题解1. ，2. 求下列一阶微分方程的通解或特解。(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，令(6) ，令(7) ，令，(8
22、) , 令, (9) ，=(10) ，=(11) ，令，由初始条件得：。(12) ，由初始条件得：。(13) ，=，由初始条件得：。(14) ，=，由初始条件得：。3. 求下列特殊的二阶微分方程的通解或特解。(1) ，=(2) ，令，=(3) ，令，=(4) ，令，=，=(5) ，令，=(6) ，令，(7) ，令，由初始条件得：，由初始条件得：，(8) ，令，由得：，=，由得：，4. 求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解或特解。(1) ，特征方程：，特征根：。通解：。(2) ，特征方程：，特征根：。通解：。(3) ，特征方程：，特征根：。通解：。(4) ，特征方程：，特征根：。通解：。(5)
23、 ，特征方程：，特征根：。通解：，由，得：特解：。(6) ，特征方程：，特征根：。通解：，由，得：特解：。(7) ，特征方程：，特征根：。通解：，由，得：特解：5. 设t小时细菌数为N(t)，依题意可建立微分方程：，其中k为比例系数。解之得，不妨设，则，从而有，由已知条件，得，那么，小时。6. 设第t天32P的乘余量为M(t)，依题意得：。解之得，有，又，得：，故：。7. 设t分钟时过氧化氢的浓度为，依题意有：，解之得，代入上式有：，。8. 设死亡后t小时尸体的温度为T(t)，依题意有：，则，由，得，当时，由，得小时。9. 设输入葡萄糖t分钟后，血液中葡萄糖含量为Q(t)，依题意有：，即，解之得：，由初始条件：代入上式得，显然当时，e-at0 ，有。10. 设t年后14C的含量为M(t)，由物理学知：放射性元素的衰减速度与当时的量成正比。有，解之得，假定，则，当t=1时，由此得到，故此人大约死于22193年前。
