当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2...

《当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2...》由会员分享，可在线阅读，更多相关《当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2...（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字 2）时，数学就诞生了。伯特兰罗素蔡天新：数学与人类文明蔡天新：数学与人类文明(一一) 数学的起源数学的起源 埃及和巴比伦埃及和巴比伦 一、数学的起源 1、记数的开始 如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾 中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些 居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同 样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。本来，对食物的 需求出自人类的生存本能。慢慢地，人类就有了明确的数的概念： 1，2，3，正如部落的头领需要知道有多少成员，

2、牧羊人也需要知道他拥 有多少只绵羊。 在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把 2 枚箭矢和 3 枚箭矢放在一起就有了 5 枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成 员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，例如，当数羊的只 数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数 方法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、 石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。 在古希腊的荷马史诗奥德赛中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺 瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在 自己的山洞

3、里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石 子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把 早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。这则故事告诉 我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于乞求丰收 的祷告，这两项人类最古老的发明均源于生存的需要。 说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌 的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数 目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其 个数等于自己的年龄，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所保持的相似的习 俗多

4、了审美以外的含义。从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾 客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数， 这两种不同的计数方法似乎也反映出这两个民族不同的个性：谨慎和浪漫。 后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。 再后来，随着书写方式的改良，就形成了代表这些数的书写符号。最初，在诸 如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。例如，在英语中 team of horses （共同拉车或拉犁的两匹马）， yoke of oxen （共轭的两头牛）， span of mules（两只骡）， brace of dogs（一对狗）， pair o

5、f shoes（一双 鞋），等等。至于汉语里的量词变化，那就更多了，且一直保留至今。 可是，人类把数 2 作为共同性质抽象出来，并采用与大多数具体事物均无 关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时间才实现的。如同英国哲学家兼 数学家伯特兰罗素所说的，“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字 2）时，数学就诞生了。”而在我看来，数学的诞生或许要稍晚一点， 即是在人们从“2 只鸡蛋加 3 只鸡蛋等于 5 只鸡蛋，2 枚箭矢加 3 枚箭矢等于 5 枚箭矢，等等”中抽象出“2 + 3 = 5”之时。 2、数基和进制 当需要进行更广泛的数字交流时，就必须将计数方法系统化。世界各地的 人们不约

6、而同地采取了以下方法：把从 1 开始的若干连续的数字作为基本数字， 以它们的组合来表示大于这些数字的数。换言之，如果大于 1 的某个数 b 作为 计数的进位制或基（base），并确定出数目 1，2，3，b 的名称，则任 何大于 b 的数均可以用这 b 个数的一个组合表示。 有证据表明，2，3 和 4 都曾被当作原始的数基。例如，澳大利亚昆士兰州 的原住民是这么计数的，“1，2，2 和 1，两个 2，”。某些非洲矮人是这么 称呼最前面的 6 个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”这两 种计数均为 2 进制，它的应用后来导致了电子计算机的发明。而阿根廷火地岛

7、 的一个部落和南美的其他一些部落则分别以数字 3 和 4 为基。 不难设想，由于人类的每只手和脚均有 5 个手指或脚趾，5 进制一度得到 了广泛的应用。至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和 1，等 等”。直到 1880 年，德国的农历仍以 5 为数基。1937 年，在捷克摩拉维亚地区 出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕明显是以 5 进制排列的。而西伯利亚的尤 卡吉尔人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一种类似于 5-10 混合进制的方式计数。 12 也常被用来作数基，这可能与它被 6 个数整除有关，也可能是因为一年 有 12 个溯望月。例如，1 英尺有 12 英

8、寸，1 英寸有 12 英分，1 先令是 12 便 士，1 英镑是 12 盎司（金衡制，常衡制是 16 盎司）。有意思的是，直到上个 世纪 70 年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包括 16 进制。与此同时，没有 12 进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。而英语里除了 dozen（打）以外， 甚至还有 gross（箩），一箩是 12 打，一打是 12 个。 20 进制也曾被广泛使用，它使我们想起人类的赤脚时代，一双脚和一双手 共有 20 个指头。美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。在法语 里，至今仍用 4 个 20 来表示 80（quatre-vingts），4 个 20 加 10

9、 来表示 90（quatre-vingt-dix）。丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发现这种痕 迹，令人惊奇的是，这些地方并非都是温带。在英语里 20（score）是个常用 字，而汉语里也有“廿”这个字。至于古代巴比伦人使用的 60 进制，即使在今天 仍在时间和角度计量单位中不可或缺。 可是，人类最终仍普遍接受了 10 进制。在有记载的历史中，包括古埃及 的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗 门数字，等等，都采用了 10 进制。在我们的头脑里，10 已成为数制的必然单 位，正如 2 已被电脑特别拥有。原因十分简单，博学的希腊哲学家亚里士多德 已经为我们指出，

10、“10 进制的广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具 有 10 个手指这样一个解剖学的事实结果。” 除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采纳。英语里的 digit 原本是指手 指或脚趾，后来才表示从 1 到 9 这些数字，如今我们正处于数字时代（digital age）。事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些 手势。例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或 民族，我们可以通过观察他们计数时的手语来判断其归属。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清楚他或她究竟来自哪个地区或省份。3、阿拉伯数系 据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万

11、年以前，经过极其缓慢的发展， 大约在公元前三千多年，终于出现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表 达数的影响，最早的表示数 1，2，3 和 4 的书写符号大多是相应数目的竖或横 的堆积。前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字 和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字 （数 4 例外）。 有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前 4 个数的数系均不 约而同的采用了 10 进制，而另外两种著名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛 雅数字，分别用一个个锐利的小等腰三角形和小圆点来表示，却采用了 60 进 制和 20 进制。在数 5 和 5 以后，

12、即使同属竖写的数系也有不同表达法，以 10 为例，古埃及人用轭或锺骨（集合论中的“并”），古希腊人用（第 4 个希腊 字母），而中国人则用 4 个竖上面加 1 横。 所谓阿拉伯数系是指由 0，1，2，3，9 这 10 个记号及其组合表达 出来的 10 进制数字体系。例如，在 911 这个数中，右边的 1 表示 1 个，中间 的 1 却表示 1 乘以 10，而 9 表示 9 乘以 100。在今天世界上存在的数以千计的 语言系统里，这 10 个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更 广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经 济、军事和体育方面的交流将变得十分困

13、难，甚至不可能进行。 阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它是印度人发明的，经由 阿拉伯人改造后传递到西方。后一项文明的流通是在 12 世纪完成的，前一项 发明的起源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和 窑洞的墙壁上发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前 250 年到公元 200 年 之间。值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元 825 年前后，阿拉伯 人花拉子密的著作印度的计算术里却描述了已经完备的印度数码，今日英 文和德文里的零就是依据阿拉伯文音译的。 阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非和西班牙的，据说一 位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙

14、的穆斯林数学家，还曾游历北非。他 回到意大利以后，于 1202 年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯 林以外的欧洲的里程碑，对稍后的意大利文艺复兴时期的数学有一定的促进作 用。有意思的是，也是在 13 世纪，威尼斯人马可波罗实现了欧洲人对东方的 首次访问。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是个战乱纷争之地，这位旅行家也 是经由北非和中东绕过地中海，不过是沿着与阿拉伯数字传播路线相反的方向。4、形而几何学 数系的出现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能，在此基础上加、 减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的 统一则使世界数学的研究和应用插上了翅膀。与数的概念形成

15、一样，人类最初 的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意 到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别。可以想见，几何学便是建立在对这类 从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。一条直线只是一段拉紧了的绳子，来自希腊文的英文 Hypotenuse（斜边、 弦）的原意就是“拉紧”。我们可以设想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线， 而 arms（手臂）也就成了两条直角边。如此看来，三角形的概念是人们通过对 自己身体的观察得到的。巧合的是，在古代中国也是这样，勾、股作为小腿和 大腿同时也是直角三角形中较短或较长的直角边，因而我们才有勾股定理的称 谓。在西安半坡出土的陶器残片上，我

16、们可以看到完整的全等三角形图案，每 条边由间隔相等的 8 个小孔连接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几 何形式的概念也来自于人们的观察和实践。 正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”。 早在公元前 14 世纪或更早，埃及的一个国王将土地分封给所有的国民，每个 人都得到一块同样面积大小的土地，然后据此纳税。如果一年一度的尼罗河洪 水冲毁了某个人的土地，那么它就必须向法老报告所受的损失。法老会派专人 来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样一来，几何学（geomerty） 就产生并发展起来了，geo 意指土地，metron 是测量。这类专门负责测量事物 的人有专门的名称，叫做“司绳”（rope-stretcher）。 巴比伦人的几何学也是源于实际的测量，它的重要特征是其算术性质，至 少在公元前 1600 年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和某些 梯形的面积计算。古印度几何学的起源则与宗教和建筑实践密切相关，公元前 8 世纪至 5 世纪形成的所谓绳法经，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及 其