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1、1第二章 矩阵2.2 矩阵的运算2.2 矩阵的运算一、矩阵的线性运算二、矩阵的乘法三、矩阵的转置四、对称阵与反对称阵2第二章 矩阵2.2 矩阵的运算1. 加法定义所得到的矩阵 称为矩阵 A 与 B 的 和，设矩阵一、矩阵的线性运算它们的对应元素相加记作只有两个同型矩阵才能进行加法运算。注意定义 为 A 的负矩阵，称矩阵设矩阵记作 - A . 由此可定义矩阵的减法运算：3第二章 矩阵2.2 矩阵的运算1. 加法一、矩阵的线性运算(1) A + B = B + A ( 加法交换律 ) ； (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 加法结合律 ) ；(4) A + (-
2、A) = 0 .(3) A + 0 = 0 + A ； 其中，A, B, C, 0 都是同型矩阵.性质4第二章 矩阵2.2 矩阵的运算解5第二章 矩阵2.2 矩阵的运算以常数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵，1. 加法一、矩阵的线性运算2. 数乘矩阵的数乘是用常数 k 乘矩阵的每一个元素；定义称为数 k 与矩阵 A 的数量乘积，简称数乘，记为 k A .注意行列式的“数乘”是用常数 k 乘行列式的某一行 (列) 的每一个元素.6第二章 矩阵2.2 矩阵的运算1. 加法一、矩阵的线性运算2. 数乘性质其中，A, B 为同型矩阵，k, l 为常数.0 ;加法运算与数乘运算一起构成矩阵的线
3、性运算，即( 结合律与交换律 ) ；( 分配律 ) ；( 分配律 ) ；7第二章 矩阵2.2 矩阵的运算由 有解两端同乘以 即得得8第二章 矩阵2.2 矩阵的运算定义其中，二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义及性质设矩阵则矩阵 A 与 B 的乘积 是一个 mn 矩阵， 即9第二章 矩阵2.2 矩阵的运算直观矩阵 C = A B 的元素 ci j二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义及性质第 j 列对应元素即矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数.注意是矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的的乘积之和 .10第二章 矩阵2.2 矩阵的运算二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义及性质性质(1) ( A
4、B ) C = A( B C ); ( 结合律 ) (2) ( A + B ) C = A C + B C , C ( A + B ) = C A + C B; ( 分配律 ) (3) k (A B) = (k A) B = A( k B). ( 其中 k 为常数 )问题(1) 交换律 A B = B A 是否成立？(2) 消去律 是否成立？11第二章 矩阵2.2 矩阵的运算行矩阵与列矩阵的乘积例12第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例 已知矩阵求 与 。解(2) 由于 B 的列数不等于 A 的行数，所以 B A 无意义.13第二章 矩阵2.2 矩阵的运算解以上两个例子表明矩阵乘法与通常的乘法有很
5、大的不同。14第二章 矩阵2.2 矩阵的运算关于矩阵乘法的一些注意事项(1) A B 有意义时，B A 不一定有意义。(2) 即使 A B 与 B A 都有意义，也可能 A B B A。若矩阵 A 和 B 满足 A B = B A，则称 A 与 B 是 可交换 的。(3) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵， (4) 若 A B = A C，且 A0，一般不能推出 B = C。即矩阵乘法不满足消去律。可见矩阵乘法不满足交换律， 因此要注意相乘的顺序；换句话说，由 A B = 0 不能推出 A = 0 或者 B = 0 。15第二章 矩阵2.2 矩阵的运算对于单位矩阵容易验证关于单位矩阵在矩阵乘法运
6、算中的特殊作用简写为例注意其中矩阵相乘的顺序以及其中单位矩阵的区别16第二章 矩阵2.2 矩阵的运算考虑线性方程组进一步，可简记为 按照矩阵的乘法可表示为应用举例 1 (有何好处？)17第二章 矩阵2.2 矩阵的运算甲, 乙两公司生产 X, Y, Z 三种型号的机器，X Y Z 甲乙XYZ那么这两家公司的月利润 (万元) 为：即月利润 (万元) 月产量 (台)每台的利润 (万元/台) 每台机器的利润 (万元/台) 分别如下： 月产量(台)以及甲乙应用举例 2 (如何使用？)18第二章 矩阵2.2 矩阵的运算应用举例 3 (是否合理？)(1) 如图, OPxy对任意一点 P 有或新坐标为或老坐标
7、为则即同理利用矩阵可表示为时针为负), 就得到一个新的坐标系绕原点旋转 角(逆时针为正, 顺将直角坐标系19第二章 矩阵2.2 矩阵的运算应用举例 3 (是否合理？)将 再绕原点旋转 角, 正好系 下的坐标为则有POxy得新坐标系设 P 点在坐标(2) 如图,20第二章 矩阵2.2 矩阵的运算定义 设 A 是方阵, m 是正整数, m 个 A 相乘称为 A 的 m 次幂 ,记为 Am，2. 方阵的乘幂运算律其中，k, l 为正整数。A 与 B ，一般说来不满足 ( A B ) k Ak B k .注意二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义及性质特别有 A0 = I . 由于矩阵的乘法不满足交换律,
8、 所以对于两个 n 阶方阵(易犯错误)即 21第二章 矩阵2.2 矩阵的运算证用数学归纳法证明当 n = 1 时，等式显然成立。即等式成立。假设 n = k 时等式成立， 要证 n = k + 1 时成立。.22第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例 由方阵的乘幂可以定义 方阵 A 的多项式 为例 对方阵的多项式可以进行因式分解注意对于同阶方阵 A 和 B，有同样有23第二章 矩阵2.2 矩阵的运算2. 方阵的乘幂二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义及性质3. 关于方阵的行列式由方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 A 的行列式,(1) 方阵与行列式是两个不同的概念。性质定义记作 或者注意24第
9、二章 矩阵2.2 矩阵的运算将 m n 矩阵 A 的行与列互换所得到的 nm 矩阵，称为定义三、矩阵的转置即若则可见，如果转置矩阵 AT 的元素记作则有例如，矩阵矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT。则25第二章 矩阵2.2 矩阵的运算三、矩阵的转置性质(此时 A 为方阵).仅证 (4) 式，即证明易犯错误: 26第二章 矩阵2.2 矩阵的运算设则又设则即得仅证 (4) 式，即证明其中27第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例如对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,四、对称矩阵与反对称矩阵特点设 A 为 n 阶方阵，如果 AT = A，则称 A 为对称矩阵 .定义(1) 两个同阶的对称矩阵的线性运算
10、还是对称矩阵；(2) 两个同阶的对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。性质1. 对称矩阵即28第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例如四、对称矩阵与反对称矩阵1. 对称矩阵主对角线上的元素为 0 , 其余的元素关于主对角线反号,2. 反对称矩阵特点设 A 为 n 阶方阵, 如果 AT = - A, 则称 A 为反对称矩阵。定义(1) 两个同阶的反对称矩阵的线性运算还是反对称矩阵；(2) 两个同阶的反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵。性质即29第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例 证明方阵 A 可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和。故方阵 A 可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和。且（对称阵）（反对称阵）由于证30第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例 设 A 为反对称阵，证明已知有证31第二章 矩阵2.2 矩阵的运算例 证明对于任意的矩阵 一定有 为对称阵。附：矩阵 的一种应用可用于求解矛盾方程组的最小二乘解(?)，证即32第二章 矩阵2.2 矩阵的运算附例测量某物体的长度 x，由于存在观测误差以及仪器误差，需要进行多次测量。则得到一个矛盾方程组分别为现在假设进行了三次测量，其结果
