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1、正余弦定理和解斜三角形正余弦定理和解斜三角形【 【基基础础梳理引梳理引导导】 】1.正弦定理：=2R，其中 R 是三角形外接圆半径.Aa sinBb sinCc sin2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.bcacb 22223.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=21 21 21)()(cSbSaSS=Sr(S=,r 为内切圆半径)=(R 为外接圆半径).2cba Rabc 4 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6
2、.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,2C 2BAsin=cos2C 2BA在ABC 中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)A、B、C 成等差数列的充要条件是 B=60；(3)ABC 是正三角形的充要条件是 A、B、C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列.一、一、【 【题题型研究型研究】 】填空填空题题1在中，已知，则_2 或 1ABC613B,b,ac2已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则它的顶角的正切值是_34:55483在中，则_ABC211
3、BcotAcotCsinlog221 4在中，则 ABC313S,b,A CsinBsinAsincba39325在中，若，则_ABC1222 CsinBsinAsinCsinBsinA3 6在中，已知，若此三角形有两解，则的取值范围是_ABC42A,ab 222,7在中，则三角形的形状为_等边三角形ABCacb,BCA228在中，若，试判断三角形的形状_等腰三角形ABC22AcosCsinBsin由，得，化简得，22ACBcossinsin CBACB coscossinsin112 1 CBcos，即是等腰三角形。 CBCB ABC 9在中，则的取值范围是_ABC21a,cC 60 ,10
4、在中，若，则等于_ABCaccbacbaB， accbacba accab 222， 21 222222222 acaccaca acbcaBcos120 B二、二、【 【题题型研究型研究】 】选择题选择题11的三内角所对边的长分别为.设向量，ABC, ,A B C, ,a b cp(, )ac bq若，则角的大小为 （ ）B(,)ba capqC 6 3 22 3 12. 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且,则ABC2ca B cosB A B C D1 43 42 42 313. 的三内角、成等差数列,的平分线交边于点,若,ABCABCBACD3A
5、B,则（ ）1BDACA.1 B. C. D.223 2 13在中，若则此三角形是 （ B ABC543:Csin:Bsin:Asin ）A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形14在中，若，那么其三边关系式为 （ B ABC23 2222bAcoscCcosa）A. B. C. D. cba2bca2acb2bca32215在中，为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，ABCc , b,a02222bacxx则该三角形是 （ A ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 16.已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，x2coscos1co
6、s0xxABC 则是 （ A ）ABC A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 三、三、【 【题题型研究型研究】 】解答解答题题17在中，若。 （1）求；（2）若，求ABC272242AcosCBsinA33cb,a的值。c , b解：（1）由题设得，即，解得 2712122 ACBcoscos 2712122 AAcoscos，故；（2），即，将21 Acos60 A,cos21 A21 2222 bcacb bcacb322 代入，得，解得或。33 cba,2 bc12 cb,21 cb,18.【题型研究题型研究】 【2010 年陕西】叙述并证明余弦定理。
7、解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有，.2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC证法一证法一 如图，如图， 2cBC ACABACAB 222ACACABAB 222cosACACABAAB 222cosbbcAc即 2222cosabcbcA同理可证 ， 2222cosbcacaB2222coscababC证法二 已知中所对边分别为，以为原点，ABC, ,A B C, , ,a b cA所在直线为轴建立直角坐标系，则，ABx( cos , si
8、n), ( ,0)C bA bA B c19.【题型研究题型研究】 【2010 年陕西】 在ABC 中，已知 B=45,D 是 BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长. 解在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos2222ADDCAC AD DC A=10036 1961 2 10 62 ,ADC=120, ADB=60在ABD 中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得sinsinABAD ADBB,AB=310sin10sin6025 6sinsin452 2ADADB BA.20. . 【题型研究题型研究】在ABC中，已
9、知2sincossin()BAAC （）求角A； （）若2BC ，ABC的面积是3，求AB（）解：由ABC，得sin()sin()sinACBB3 分所以原式化为BABsincossin2因为(0,)B，所以 0sinB， 所以 21cosA 因为(0,)A， 所以 3A 7 分 （）解：由余弦定理，得 222222cosBCABACAB ACAABACAB AC 因为 2BC ，1sin323AB AC， 所以 228ABAC11分因为 4AB AC， 所以 2AB . 13 分21.【题型研究题型研究】已知ABC 的周长为 4（2+1） ，且 sinB+sinC=2sinA（I）求边长 a
10、 的值。 （）若 SABC=3 sinA，求 cosA 的值解（）根据正弦定理，ACBsin2sinsin可化为acb2 3 分联立方程组 acbcba2) 12(4，解得4a 6 分（）ASABCsin3，AAbcsin3sin21 6bc 9 分又由（1）可知，24 cb，由余弦定理得 31 22)( 2cos22222 bcabccb bcacbA 12 分22【题型研究题型研究】解：（）A+B+C=180， 由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得27) 1cos2(2cos142CC， 01cos4cos42CC ，21cosC 1800C C=60 （）由22
11、22coscababC，得227abab ，27()32536abababab 233 23621sin21CabSABC23.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值解：解：（1）依题意，120BAC12AB 10 220AC BCA2分在ABC中，由余弦定理，得2222cosBCABACABACBAC 4分2212202 12 20 cos120784 解得28BC 6分所以渔船甲的速度为142BC海里/小时答：渔船甲的速度为14海里/小时7分（2）方法方法1 1：在ABC中，因为12AB ，120BAC，28BC ， BCA，由正弦定理，得sinsin120ABBC 9分即312sin1203 32sin2814AB BC 方法方法2：在ABC中，因为12AB ，20AC ，28BC ，BCA，由余弦定理，得222 cos2ACBCAB ACBC9分即22220281213cos2 20 2814因为为锐角，所以2 213sin1 cos1143 3 14答：sin的值为3 3 1424.如图，为了计算某湖岸边两景点
