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1、LINGOLINGO 的基本用法的基本用法 我们遇到的许多优化问题都可以归结为规划问题，如线性规划、非线性规划、二次规划、 整数规划、动态规划、多目标规划等，当遇到变量比较多或者约束条件比较复杂情况时，想用 手工计算来求解这类问题几乎是不可能的，编程计算虽然可行，但工作量大、程序长而繁琐， 稍不小心就会出错.可行的办法是利用现成的软件求解，LINGO 是专门用来求解各种规划问题的 软件包，其功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择. 1.1LINGO 入门 1.1.1 概况 LINGO 是美国 LINDO 系统公司开发的求解数学线性规划系列软件中的一个，它主要功能是求 解大型线性、非线性和整数规
2、划问题. LINGO 的主要功能特色为： (1) 既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力； (2) 输入模型简练直观； (3) 运行速度快、计算能力强； (4) 内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规 模的优化模型； (5) 将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为 LINGO 模型； (6) 能方便地与 Excel、数据库等其它软件交换数据. 1.1.2 LINGO 的基本用法 启动 LINGO 后，在主窗口上弹出标题为“LINGO Model-LINGO1”的窗口，称为模型窗口 （通常称为 LINGO 程序为“模型” ） ，如图
3、 1.1.1 所示，用于输入模型，可以在该窗口内用基本 类似于数学公式的形式输入小型规划模型.通常，一个优化模型由以下三部分所组成： (1) 目标函数.一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小值. (2) 决策变量.目标函数值取决于哪些变量. (3) 约束条件.对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等式表示）.例例 1.1.11.1.1 某工厂有两条生产线，分别用来生产 M 和 P 两种型号的产品，利润分别为 200 元 /个和 300 元/个，生产线的最大生产能力分别为每日 100 和 120，生产线每生产一个 M 产品需要 1 个劳动日（1 个工人工作 8 小时称为 1 个劳动日）进行调试
4、、检测等工作，而每个 P 产品需要2 个劳动日，该厂工人每天共计能提供 160 劳动日，假如原材料等其它条件不受限制，问应如何 安排生产计划，才能使获得的利润最大？解解 设两种产品的生产量分别为，则该问题的数学模型为12,x x目标函数 .12max z200300xx约束条件 (1.1.1)1212100,120,2160,0,1,2.jxxxxxj 在 Model 窗口输入如下模型：MAX=200*X1+300*X2; X1=”不等式，左边减右边的差值称为 Surplus（剩余），当约束条件的左右两边相等时，松弛或剩余的值为零，如果约束条件无法满 足，即没有可行解，则松弛或剩余的值为负.“
5、Dual Price”的意思是影子价格，上面报告中 Row 2 的松弛值为 0，意思是说第二行的约束条件，即第一条生产线最大生产能力已达到饱和状 态（100 个），影子价格为 50，含义是：如果该生产线最大生产能力增加 1，能使目标函数值， 即利润增加 50；报告中 Row 3 的松弛值为 90，表示按照最优解安排生产（X2=30），则第三行 的约束条件，即第二条生产线的最大生产能力 120 剩余了 90，因此增加该生产线的最大生产能 力对目标函数的最优值不起作用，故影子价格为 0； 以上结果可以保存到文件中（扩展名为.lgr）. 例例 1.1.21.1.2 基金的优化使用（2001 年建模数
6、学竟赛 C 题）. 假设某校基金会得到了一笔数额为 M 万元的基金，打算将其存入银行，校基金会计划在 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额相同，且在年仍保留原基金数额.银nn 行存款税后年利率见表 1.1.2. 表 1.1.2 银行存款税后利率表存期1 年2 年3 年5 年税后年利率%1.82.162.5922.88校基金会获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额，请在万元、年的情5000M 5n 况下设计具体存款方案. 1.2 用 LINGO 编程语言建立模型 1.1 节介绍了 LINGO 的基本用法，其优点是输入模型较直观，一般的数学表达式无须作大的 变换即可直接输入.对于规
7、模较少的规划模型，用直接输入方式是有利的，但是，如果模型的变 量和约束条件个数都比较多，若仍然用直接输入方式，虽然也能求解并得出结果，但是这种做 法有明显不足之处：模型的编幅很长，不便于分析修改和扩展，例如，目标函数中有求和表达式，若直接输入的方式，将有 200 个和 200 个相乘再相加.102011ijij ijc xijcijx1.2.1 LINGO 模型的基本组成 LINGO 建模语言引入了集合的概念，为建立大规模数学规划模型提供了方便.用 LINGO 语言 编写程序来表达一个实际优化问题，称为 LINGO 模型. 例 1.2.1 某公司有 6 个供货栈（仓库） ，现有 8 个客户各要
8、一批货，各供货栈到 8 个客户处的单位货物运输价见表 1.2.1. 表 1.2.1 供货栈到客户的单位货物运输价（元/每单位）及需求量V1V2V3V4V5V6V7V8库存W16267425960W24953858255W35219743351W47673927143W52395726541W65522814352 需求量3537223241324338 试确定各货栈到各客户处的货物调运数量，使总的运输费最小.解 引入决策变量，表示从第 个货栈到第个客户的货物运量.用符号表示从第 个ijxijijci货栈到第个客户的单位货物运价，表示第 个货栈的最大供货量，表示第个客户的需jiaijdj求量.
9、则本问题的数学模型为：，6811min ijij ijzc x（1.2.1）8161,1,2,6. .,1,2,80,1,2,6,1,2,8iji jijj iijxa istxdjxij 1.集合定义部分 LINGO 将集合(SET)的概念引入建模语言，集合是一组相关对象构成的组合，代表模型中的 实际事物，并与数学变量及常量联系起来，是实际问题到数学的抽象.例 1.2.1 中的 6 个仓库可 以看成是一个集合，8 个客户可以看成另一个集合. 每个集合在使用之前需要预先给出定义，定义集合时要明确三方面内容：集合的名称、集 合内的成员（组成集合的个体，也称元素） 、集合的属性（可以看成是与该集合
10、有关的变量或常 量，相关于数组）. 定义仓库集合：WH/w1.w6/:AI; 其中 WH 是集合的名称，w1.w6 是集合内成员， “.”是特定的省略号（如果不用该省略号， 也可以把成员一一列举出来，成员之间用逗号或空格分开） ，表明该集合有 6 个成员，分别对应 6 个货栈，AI 是集合的属性，它可以看成一个一维数组，有 6 个分量，分别表示各货栈现有货 物的总数.客户货栈集合、成员、属性的命名规则与变量相同，可按自己的意愿，用有一定意义的字母数字串 来表示，式中“/”和“/：”是规定的语法规则. 定义客户集合：VD/v1.v8/:DJ; 该集合有 8 个成员，DJ 是集合的属性（有 8 个
11、分量）表示各客户的需求量. 定义表示运输关系（路线）的集合：LINKS(WH,VD):C,X; 该集合以初始集合 WH 和 DJ 为基础，称为衍生集合（或称派生集合） ，C 和 X 是该衍生集合 的两个属性.衍生集合的定义语句有如下要素组成： (1) 集合的名称； (2) 对应的初始集合； (3) 集合的成员（可以省略不写明） ； (4) 集合的属性（可以没有）. 定义衍生集合时可以用罗列的方式将衍生集合的成员一一列举出来，如果省略不写，则默 认衍生集合的成员取它的所对应初始集合的所有可能的组合，上述衍生集合 LINKS 的定义中没 有指明成员，而它对应的初始集合 WH 有 6 个成员，VD
12、有 8 个成员，因此 LINKS 成员取 WH 和 VD 的所有可能组合，即集合 LINKS 有 48 个成员，48 个成员可以排列成一个矩阵，其行数与集合 WH 的成员个数相等，列数与集合 VD 的成员个数相等.相应地，集合 LINKS 的属性 C 和 X 都相当于二维数组，各有 48 个分量，C 表示货栈到客户的单位货物运价，X 表示货栈到客户iwjviw的货物运量.jv本模型完整的集合定义为：SETS: WH/W1.W6/:AI; VD/V1.V8/:DJ; LINKS(WH,VD):C:X; ENDSETS 注 集合定义部分以语句 SETS:开始，以语句 ENDSETS 结束，这两个语
13、句必须单独成一行. ENDSETS 后面不加标点符号. 2.数据初始化（数据段） LINGO 建模语言通过对数据初始化部分来实现对已知属性赋以初始值，格式为： DATA: AI=60,55,51,43,41,52; DJ=35,37,22,32,41,32,43,38; C=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3; ENDDATA3.目标函数和约束条件目标函数表达式 用 LINGO 语句表示为：6811min ijij ijzc xMIN=SUM(LIN
14、KS(I,J):C(I,J)*X(I,J);式中，SUM 是 LINGO 提供的内部函数，其作用是对某个集合的所有成员，求指定表达式的和， 该函数需要两个参数，第一个参数是集合名称，指定对该集合所有成员求和，如果此集合是一个初始集合，它有个成员，则求和运算对这个成员进行，相当于求，第二参数是一个mm1mi表达式，表示求和运算对该表达式进行.此处SUM 的第一个参数是 LINKS(I,J)，表示求和运 算对衍生集合 LINKS 进行，该集合的维数是 2，共有 48 个成员，运算规则是：选对 48 个成员分别求表达式 C(I,J)*X(I,J)的值，然后求和，相当于求，表达式中的 C 和 X 是6
15、811ijij ijc x集合 LINKS 的两个属性，它们各有 48 个分量. 注 如果表达式中参与运算的属性属于同一个集合，则SUM 语句中索引（相当于矩阵或数 组的下标）可以省略，假如表达式中参与运算的属性属于不同的集合，则不能省略属性的索引. 本例的目标函数可以表示成： MIN=SUM(LINKS:C*X);约束条件实际上表示了 6 个不等式，用 LINGO 语言表示该约束条81,1,2,6iji jxa i件，语句为： FOR(WH(I):SUM(VD(J):X(I,J)= LINGO 中没有单独的“”关系. 1.3.2 LINGO 函数 1.数学函数 abs(x)返回 x 的绝对值
16、 sin(x)返回 x 的正弦值，x 采用弧度制 cos(x)返回 x 的余弦值 tan(x)返回 x 的正切值 exp(x)返回常数 e 的 x 次方 log(x)返回 x 的自然对数 lgm(x)返回 x 的 gamma 函数的自然对数 sign(x)如果 x=0 时，返回不超过 x 的最大整数；当 x0 时，返回不低于 x 的最大整数 smax(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最大值 smin(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最小值 MOD(X,Y)返回 X 除以 Y 的余数（X 和 Y 都是整数） POW(X,Y)返回 X 的 y 次方.可用 XY 代替 SQR(X)返回 X 的平方值.可用 X2 代替 SQRT(X)返回 X 的正的平方根
