《【考题20】设a、b分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考题20】设a、b分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、九头鸟解评九头鸟解评湖北卷理科数学（湖北卷理科数学（10）【前言】 解析几何年年都有一个大题出现，今年是椭圆，看起来是一道常规题，但对运算 能力的要求非常高，尤其是第（）问，可用多种方法来解它，无论解法如何，恐怕 都难逃准确计算这一关. 【考题 20】 设 A、B 分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长)0,( 12222 baby ax等于焦距，且 x=4 为它的右准线.（）求椭圆的方程；()设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于 异于 A、B 的点 M、N，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内. （此题不要求在答题卡上画图）【分析 1】 题目虽
2、然不要求画图，但我们在做题时， 是要做到心中有图的，不妨把它画出来.如图（1）. 【解答 1】 （）依题意得，3. 1, 2, 4,22 bcacaca 从从从从故椭圆方程为. 13422 yx【分析 2】 由平面几何知识，直径所对的圆周角为 90, 如图（2） ，即MQ1N=90,那么圆内的点 Q 与直径的连线 所组成的角MQN90,而圆外的点 Q2与直径 MN 的连线 所成的角 MQ2N 所成的MQ2N0,0.于是MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径BPBM的圆内.【分析 3】 在解答 2 的思想方法启发下，不用向量工具，情况如何呢？【解答 3】由（）得 A（-
3、2，0） ，B（2，0）. 设 P（4，)(0),M(x1,y1),N(x2,y2).则直线 AP 的方程为 y=(x+2),直线 BP 的方程为 y=(x-2).6 2点 M、N 分别在直线 AP、BP 上，y1=(x1+2),y2=(x2-2),从而 y1y2=(x1+2)(x2+2) 6 2 122联立 消去 y 得（27+2）x2+42x+4(2-27)=0. . 134),2(6 22yxxyx1,-2 是方程的两根，（-2）x1= 27)27(2, 27)27(4 22122 x从又=（x1-2,y1）（x2-2,y2）=(x1-2)(x2-2)+y1y2 BNBM于是由、式代入式
4、化简可得(x2-2). 27522BNBMN 点在椭圆上，且异于顶点 A、B，x2-20,从而0 275 22BNBM故MBN 为钝角，即点 B 在以 MN 为直径的圆内.【分析 4】 设而不求是解析几何常用的方法，本题也不例外，运用“点到圆心的距离小 于半径，则点在圆内”判断.【解答 4】由()得 A（-2，0） ，B（2，0）.设 M(x1,y1),N (x2,y2). 则-2x12,-2x22.又 MN 的中点 Q 的坐标为， 2,22121yyxx|BQ|2-|MN|2=.412212212 212 21)()(41 2, 22yyxxyyxx 化简得|BQ|2-|MN|2=（x1-2
5、）(x2-2)+y1y2 41直线 AP 的方程为 y=,直线 BP 的方程为 y=.)2(211xxy)2(222xxy点 P 在准线 x=4 上， 2)2(3,22 261122 2211 xyxyxy xy从又M 点在椭圆上， )4(43, 13421212121xyyx从于是将、式代入化简可得|BQ|2-|MN|2=（2-x1）(x2-2)0.41 45从而 B 在以 MN 为直径的圆内.【点评】 本题的考点常规，但所用的思想方法不一定常见. 第（）问一般考生都能得 分，可第（）问就是有区分度了.解法 1 用的是向量的方法，简单易懂，但不容易想到； 解法 2 与解法 1 是一样的思想，只是少了向量这一工具，计算复杂了一些；解法 3 可能是 大众考生的想法，用此法，对计算能力的要求很高. 作为“压轴题”的第 20 题，设计上应该有这样的梯度，否则就难以得到相应的区分度.
