解析几何的诞生

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1、悖论与危机悖论与危机数学内部的悖论及其产生的危机是促使数学向前发展的催化剂一、三次数学危机一、三次数学危机1、第一次数学危机 （第一次）2、第二次数学危机 （第二次）3、第三次数学危机 （第三次） 二、绘画悖论二、绘画悖论1、不可能图形（图形）2、不可能建筑（建筑） 三、关于数的悖论三、关于数的悖论1、奇怪的遗嘱（财产分配）2、一块钱哪去了？（一块钱）3 、无可奈何的汽车司机（相对关系）4、选举悖论） （等又不等） 四、几何学悖论四、几何学悖论1、绕着一个姑娘转圈（转圈）2、兰迪先生的奇异地毯（地毯）3、可内外翻剥的奇妙轮胎（拓扑） 五、逻辑学悖论五、逻辑学悖论1、克里特人伊壁孟德说谎（自相矛

2、盾）2、一句话和他的反话（同时错误） 六、古希腊悖论古希腊悖论1、二分法悖论（二分法）2、阿基里斯追龟悖论（追龟）3、飞矢不动悖论（飞矢不动） 第一次数学危机第一次数学危机 第一次数学危机是由不能写成两个整数之比引发的。 这一危机发生在公元前 5 世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但 突然发现不能表为整数比。其实质是是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系 需要扩充，要添加无理数。当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个 十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了是无理数的实质，用几何的方法去处理不可 公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从

3、全部数学中脱颖而出。欧几里得的几 何原本中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学 的基础。但是彻底解决这一危机是在 19 世纪，依赖实数理论的建立。（图 1）第二次数学危机第二次数学危机 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是 0？贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是 0，又不是非 0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限 论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之 成为极限理论的基础。所以

4、，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论 极限理微积分。而“历史顺序”则正好相反。无穷小量就是零无穷小量就是零无穷小量不是无穷小量不是零，是很小零，是很小的量的量无穷小量是量的鬼魂无穷小量是量的鬼魂无穷级数是矛盾的无穷级数是矛盾的1-1+1-1+1-=01-1+1-1+1-=1（图 2）第三次数学危机第三次数学危机 罗素悖论的通俗化“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不 给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自 己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己 刮脸，他就属于自己不给

5、自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与 假设矛盾。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原 则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、 “一切属于自身的集合”这样的集合。第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且 这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到 无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。现在的数学已经达到了绝对的严格宇宙是不存在的。罗素悖论 1902（图 3）不可能不可能图图形形

6、艺术家将悖论直观化、形象化。绘画悖论作品从局部看都很合理，从整体看却不可能存在。（图 4）（图 5）（图 6）（图 7）不可能建筑不可能建筑 荷兰埃舍尔的景观楼从局部看很合理，从整体不合理。日本福田繁雄还幽默地 作了一次实践，结果从正面拍照，还像那么回事，可是侧面一看，矛盾就暴露无疑了。（图 8）（图 9）（图 10）这个人永远都在向上走，却又会回到原地（图 11）下面是埃舍尔的瀑布，乍看渠道 畅通，水流正常，但仔细审看，难道 水可以永无休止地循环流动吗？（图 12）奇怪的奇怪的遗遗嘱嘱一个富有的律师拥有 11 辆古董汽车，每辆值 5000 美元。 （图 13）律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他

7、说他的 11 辆古董汽车分给他的三个儿子。 把其中的一半分给长子，1/4 分给次子，1/6 分给小儿子。 （图 14）大家都感到迷惑不解。11 辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成 4 份？6 份？ （图 15）他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐一位著名的数学家驾着她的新式赛 车来了。林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？ （图 16）小伙子们向她诉说了原委，林小姐便把她的赛车停在 11 辆古董汽车旁边，下了车。林小姐： 小伙子们，说说看，这里有几辆车？M：那些小伙子一数，有 12 辆。 （图 17）这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6 辆给了老大。老二得

8、到 12 辆的 1/4，即 3 辆。小儿子得到 12 辆的 1/6，即 2 辆。林小姐：6 加 3 加 2 正好是 11。所以，还余下 1 辆，这正 是我的车。 （图 18）一一块钱块钱哪里去了？哪里去了？一个唱片商店里。卖 30 张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外 30 张唱片是一块钱卖 3 张。那 天，这 60 张唱片全卖完了。 （图 19）30 张一块钱两张的唱片收入 15 元。30 张一块钱 3 张的唱片收入 10 元，总共是 25 元。 （图 20）无可奈何的汽无可奈何的汽车车司机司机这辆汽车已坐进 40 个小伙子，他们很快就要上路去宿营地了。 （图 21）而这一辆汽车坐着 40 个姑

9、娘。她们正要去同一地点。 （图 22）在出发前，汽车司机要喝点咖啡。 （图 23）这时有十个小伙子偷偷地从他们的汽车中出来，溜进了姑娘们的汽车。 （图 24）当姑娘们的司机回来时，他发觉乘客太多了。 （图 25）司机：好了，请大家不要开玩笑、胡闹！这辆汽车坐 40 个人，所以你们最好下去 10 个人，快 点！ （图 26）下来了不知性别的十个人。他们全上了小伙子的汽车、坐上了空座。一会儿，这两辆汽车各 载着 40 个露营者便上路了。 （图 27）过了一会儿，姑娘们那辆车的司机想司机：呣，我确信有几个小伙子在这辆车上，还 有些姑娘在小伙子的车上。我想知道，哪辆车上的异性乘客多？ （图 28）尽管

10、有点难以相信，但事实是，不管回到小伙子车上的十名乘客中男的女的各多少，这两辆 汽车上异性乘客的比例都一样。 （图 29）选举选举悖悖论论假定有三个人阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。 （图 30）民意测验表明，选举人中有 2/3 愿意选 A 不愿选 B，有 2/3 愿选 B 不愿选 C。是否愿选 A 不 愿选 C 的最多？ （图 31）不一定！如果选举人像图中那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。我们让候选人来说明 这一点。 （图 32）甲（男）：我是阿贝尔。选举人中有 2/3 喜欢我，不喜欢伯恩斯。 （图 33）乙（女）：我是伯恩斯小姐。2/3 的选举人喜欢我，超过克拉克。 （图 34）丙（男

11、）：我是克拉克。2/3 的选举人欢迎我超过阿贝尔！ （图 35）绕绕着一个姑娘着一个姑娘转转圈圈啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？ （图 36）当这个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男 孩始终看不到她。 （图 37）他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？甲：当然啰！ 他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。乙：瞎说！即使那里没有树，他也一直 未能看到梅蒂尔的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？（图 38）兰兰迪先生的奇异地毯迪先生的奇异地毯世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是 13 分米的地毯，他

12、想把它改成 8 分米宽 21 分 米长的地毯。 （图 39）兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯 裁成四块，再把它们缝在一起成为一块 8 分米21 分米的地毯。奥马尔：很遗憾，兰迪先生。 您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13 乘 13 是 169，8 乘 21 是 168。这怎么能办 得到呢？ （图 40）兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。（图 41）奥马尔象他所说的那样做了。过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一 起，这样就得到了一块 8 分米21 分米的地毯。奥马尔：这怎么

13、可能呢？地毯面积由 169 平方分米缩小到 168 平方分米！那一平方分米哪里去了？ （图 42）几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是 12 分米的地毯。兰迪：奥马尔，老伙计！我的电 热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟 窿。 （图 43）奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做了。把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是 长宽各 12 分米但那个窟窿却消失了！ （图 44）奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？（图 45）可内外翻剥的奇妙可内外翻剥的奇妙轮轮胎胎拓扑学被称做橡皮几何，因为它是研究图形被拉伸和

14、扭曲后不变的性质。 （图 46）有一种形如轮胎的迷人的曲面圆环。设想一个用薄橡皮做的轮胎，它上面有一个大孔，你认 为能从这个孔把它的里面翻到外面来吗？这的确是可以做到的，但是很困难。 （图 47）在把圆环翻转之前，设想我们按左边画面的办法把一个小橡皮圈粘在它的内表面，又把一大 橡皮圈粘在它的外表面。这两个橡皮圈显然没套在一起。 （图 48）这就是圆环被翻转后的样子。这时这两个弹性圈已套在一起了！但是不经过剪开和粘上的过程就把两个圈套在一起是不可能的，所以一定是哪里出了错。但是错在哪里呢？ （图 49）克里特人伊壁孟德克里特人伊壁孟德说谎说谎伊壁孟德：所有的克里特人都是撒谎者。 他说的是真的吗？

15、如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者， 而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。 他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人， 因而伊壁孟德也必然说了真话。 他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？ （图 50）一句一句话话和他的反和他的反话话（图 51） 这句话有几个字？七个字。 显然原话错了！ 那么它的反话就应该是对的吧，是不是？ （图 52） 不对，这句话的反话正好是八个字。所以， 它像它原来的话一样是错的。我们怎么才能 解决这样奇怪的尴尬局面呢？ 二分法悖二分法悖论论M：古希腊人设想出了很多关于时间和运动的悖论最著名的一个是基诺关于跑步人的诡论。（图 53）（图 54） M：

16、基诺的跑步人作如下推理。 甲：在我达到终点线之前，我必须经过中点。然后我必须跑到 3/4 处，它是剩下距离的半。甲：而在我跑完最后的 1/4 这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止 境的，我将根本不能达到终点。 （图 55）M：假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间距离关系图表明他是如何越来越接近终点， 而绝不会达到终点的。他的论据对吗？ （图 56）M：不对，因为跑步人不是每跑半截都用 1 分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一 半。他只要两分钟就可以到达终点，只不过他须通过无穷多个中点而已。 （图 57）阿基里斯追阿基里斯追龟龟悖悖论论M：基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。阿基里斯想要捉住一公里外的一只海龟。 （图 58）M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了 10 米。 （图 59）（图 60） M：但是当阿基里斯跑到 10 米处时，海龟又爬到前面去了。 海龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截了，那 怕这个距离比头发丝还小。 （图 6