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1、一个猎狼问题的三种解法金彪 浙江省上虞市春晖中学（312353） 原题：一只狼沿半径为 R 的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动，如图 1 所示，狼过 A 点时，一只猎犬以相同的速率从 O 点出发追击狼。若追击过程中狼、犬、O 点始终在同一 直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？V1 VV2 ORAV图 2ORAV图 1分析：因为狼沿圆岛做匀速率圆周运动，猎犬以相同的速率追击狼，猎犬、狼、O 点 始终在同一条直线上，可以判定猎犬做的是匀速率曲线运动。所以要判定猎犬的运动轨迹， 只要判定猎犬的加速度或曲率半径就可以了，当然也可以判断猎犬的运动规律。设某时刻 猎犬运动到 C 点，狼运动到 B 点，O、C、
2、B 在同一条直线上，设 OC 距离为可以将猎 犬的瞬时速度 V 正交分解为沿 BC 方向的 V1和垂直 BC 方向的 V2，如图 2 所示。有：2 22 12VVV （1）RVV 1（2） 由（1） （2）两式得2222RRVV （3） 解法 1：根据加速度求解 猎犬运动时，两个分速度大小方向都在发生变化，故速度 V1、V2都有切向和法向加速 度。设 V1的切向加速度为 a11，法向加速度为 a12；V2的切向加速度为 a22，法向加速度为 a21。RVV t RV tVa21 11 （4）RVVRRVVtR RV tVa1222222 22 （5） 以上两式可得 a11与 V1同向，而 a2
3、2与 V2反向。又因为 V1总是平行于狼速，V2总是 垂直于狼速，故两个速度方向改变的角速度都与狼的运动角速度相同，则法向加速度：RVVVa 1112（6）RVVVa 2221（7） 由矢量关系可得 a21与 V1同向，而 a12与 V2 反向。则在 V1 和 V2 方向上合加速度分别为212VRVa 122VRVa ，且方向关系如图 3 所示，由三角1221 VV aa 形相似得合加速度 a 垂直于 V，大小为RVa22 同时由于 C 点为任意点，可得猎狗的加速度大小恒定不变，方向始终垂直于瞬时速度，该运动一定为匀速率圆周运动；轨迹为圆，圆半径为。22R aVr 解法 2，根据曲率半径求解
4、设在一段极短的时间t 中，狼从任意一点 B 运动到 B/，猎狗从 C 运动到 C/。如图 4所示，由于狼和犬速率都等于 V，故，RtV ，作 V/的平行直线 BDE 与 OC 交于 D 点，tVBB/由（2）式可得，V 和 V/的夹RtV VV RVV2/ 11sin,sin角即圆弧 BB/圆心角为 ，由图中可得。RtV 2 2cos2sin2sinsinVV1a1V2aa2图 3E V/ C/B/VCBO图 4D因为时间极短， 近视相等，上式可化为RtV 2cos)(2cos2 RtV RtV因为曲率半径等于弧长比弧度，故，本式表示猎犬运动过程中曲率222/RRtVtVBBr半径始终为，故物体作圆周运动。2R解法 3，根据简谐运动求解 将（1）式左右两边求导022/ 22/ 11VVVV将（2）式代入得/ 22/ 22 VVRV因为，且上式左边右边都乘以 m2/VFmVRVm/ 222 即猎狗在过狼的半径方向上所受合外力大小与离开 O 点的位移成正比，比例系数为，方向相反，说明猎犬在该方向上作的是简谐运动。且角速度为22RVmk ，同时考虑到初始状态下位移为 0，速度为最大，可以列出简谐运RV RV mk22 动方程得，而恰好是猎犬、狼和 O 连线与 OA 的夹角 ，可得tRVsintRVsin这刚好是圆的极坐标方程。
