双曲线定义的应用

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1、双曲线定义的应用双曲线定义的应用1PT 平分平分PF1F2在点在点 P 处的内角，则焦点在处的内角，则焦点在直线直线 PT 上的射影上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点的圆，除去实轴的两个端点.2双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,以焦半径为直径的圆必与以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相切以双曲线实轴为直径的圆相切( (同焦支外切，同焦支外切，异焦支内切异焦支内切).).3设设 A1、A2为双曲线的左、右顶点，则为双曲线的左、右顶点，则PF1F2内切圆，必与内切圆，必与 A1A2所在的直线切于所在的直线切于 A2（或（或A1）.4双曲

2、线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值长为定值 a+ca+c 与与 c-a.c-a.5.5.双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,过任一焦点向非焦顶点内角过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线平分线引垂线, ,则双曲线中心与垂足的距离为则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长双曲线实半轴的长. .6.6.双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,过任一焦点向非焦顶点的内过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线角平分线引垂线, ,垂足就是垂足同侧焦半径为垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. .7

3、设设 P 点是双曲线点是双曲线（a0,b0）上异）上异22221xy ab于实轴端点的任一点于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记为其焦点记，则，则(1).(2) 12FPF2122|1 cosbPFPF. 1 22cot2PF FSb8设双曲线设双曲线（a0,b0）的两个焦点）的两个焦点22221xy ab为为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意（异于长轴端点）为双曲线上任意 一点，在一点，在PF1F2中，记中，记, ,12FPF12PFF，则有，则有12FF Psin (sinsin)cea 9若若 P 为双曲线为双曲线（a0,b0）右（或）右（或22221xy ab左）支上除

4、顶点外的任一点左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点是焦点, , ，则，则（或（或12PFF21PF Ftant22cacoca）.tant22cacoca10P 为双曲线为双曲线（a0,b0）上任一点）上任一点,22221xy abF1,F2为焦点，为焦点，A 为双曲线内一定点，则为双曲线内一定点，则 ,当且仅当当且仅当三点共线三点共线21| 2|AFaPAPF2,A F P 且且和和在在 y 轴同侧时，等号成立轴同侧时，等号成立.P2,A F5双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,外点到一焦点的距离与以外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(e(离心率离心率).).6双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,其焦点所对的旁心将外点其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比与非焦顶点连线段分成定比 e.e.注注: :在双曲线焦三角形中在双曲线焦三角形中, ,非焦顶点的内、外角非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点平分线与长轴交点分别称为内、外点. .7双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中, ,过任一焦点向非焦顶点的过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线内角平分线引垂线, ,则双曲线中心与垂足连线则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行必与另一焦半径所在直线平行. .