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1、1Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组） 决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程质量连续性方程（质量守恒方程） I-1 方程的导出方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根0dddt 据输运定理，设 时刻该系统所占控制体为，对应控制面，则有tCVCS质量守恒方程积分形式。0ACV CSdv dst上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上
2、的质量通量。CVCS由奥高公式得 ，于是有。()A CSCVv dsv d()0CVvdt考虑到的任意性，故有 ，即()0vt质量守恒方程微分形式0dvdt I-2 各项意义分析：各项意义分析：1）流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质流体的不dtd0 t0dtd可压缩流动。.const2）由（为微团的质量）知（为该微团 时刻体积） ，从而知=0dtmdm11dd dtdt tv流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。3）不可压缩流体，故有 。0d dt0v由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。ACV CSv dsvd0A CSv ds不可压缩流动满足的或
3、是对速度场的一个约束是对速度场的一个约束。0v0A CSv ds例 1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：0A CSv ds；如为均质不可压缩流动，则。222111SVSV1122V SV S2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有，24( , )( )r V r tm t即，其中代表点源强度（单位时间发出的流2( )V rr( )m t体体积） 。 例 2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端R2以速度流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。0V2 1mrVVR通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度
4、。mV解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管壁无渗透故上式0AV dS与与可写为：，可得。2 002RVRVrdr02VVmIIII 动量方程动量方程 流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度 II-1II-1 方程的导出方程的导出 1 直角坐标系下推导微分形式的动量定理微分形式的动量定理 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团 时tt刻所占控制体，其边界。CVCS 受力分析：体力合力=Fd面力合力AnCSp dS, , ,22,22, , , , ,22,222xxxxyxyyzxzzxxxxyxxpxy zspxy zsyypx yzxxp
5、xy zspxy zspx yzsxzpx y zsypx yspx y zzss ,2, , ,22xyyzxyxzzzypx yzsxzpx y zspppp xzx y zsy 于是有，yxzpppdVFdtxyz即。yxzpppdVFdtxyz2x3分量形式：yxxxxzx xyxyyyzy yyxxxzxz zpdvppFdtxyz dvpppFdtxyz pppdvFdtxyz 或写成，jii i jpdvFdtx或。dVFPdt意义：单位体积流体团所受面力的合力。P 2 2 积分形式的动量定理的导出积分形式的动量定理的导出考虑体系，该流体团 时刻所占控制体，其边界。由动量定理有t
6、CVCSnCVCSdVdFdp dSdtA利用输运定理可得。 CVCSdVVV VSdtt 于是得到积分形式动量定理： AnCVCSCVCSVV VSFdp dSt 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。例题 1 求流体作用于闸门上的力。 （设渠宽）w 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。x22 212 1wDVwDVx方向动量通量12 12200()()()DDaaaxRw Pg Dydyw Pg DydyhD P 与与与与与闸门受合力RhDPRa)(1代入动量方程方程得)(21)(2 22 112 122 2DDgwRDVDVw故)()(2122 11
7、2 22 22 1DVDVwDDgwR注：求时可直接设。R0aP注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下： dVdddVVVdtdtdtdt 4其中，因而得到0dd m dtdt。CVddVdVVdtdtdt 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。另外，nCSCS CVp dSn PdSPdAA综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。0CVdVFPdtdVFPdt尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的 动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导
8、数，使 得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3 兰姆兰姆葛罗米柯形式的动量方程葛罗米柯形式的动量方程2 rot2VVVVFPtII-2 地转参照系下的动量方程地转参照系下的动量方程 就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。但是对于大尺度的流 体运动问题，必须考虑地球自转的影响。在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参 照系，地球相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、 地球流体动力学等打基础。地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度areVVVrV（牵连速
9、度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度） ，为地球自转角速度。eVr绝对加速度：，arecwwww其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。rwedwrrdt2crwV动量方程：1r ecd VFPwwdt其中，。rr rrd VVVVdtti ix 因为真实力与参照系无关，故PP 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有0d dt。12r rrrVVVFPrVtIII.III.能量方程能量方程IIIIII1 1 能量方程的推导能量方程的推导： 时刻流体团所占控制体，其边界，能量平衡关系式：tCVCS5时刻t 1与与与与与与与 234与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与
10、与与与与与与与与与与与与与与其中，代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）2 (1)()2dVUdtU(2)nCS CVF VpV sA，为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体)3( CSfsACSk TsAffk T 设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为，则)4(q(4) CVqd故能量方程积分形式为：2 ()2nCVCSCSCVdVUF VpV sk Tsqdt AA因为2222222222dVdVUUdtdtddVVdVUUUdtdtdt与与与nCSCSCSCSCSpV sn PV snP VsP VsP VAAAAA与CSCSk Tsk TAA所以得
11、到能量方程微分形式：，2 ()()2dVUF VP Vk Tqdt其中。()()jijii jiiijiijijijiji jjjjppVP Vp VVpVp sp axxxx由于旋转运动张量是反对称张量，而应力张量是对称张量，故有（因是对称张量）AP0jijip aijp记。另外，于是有如下形式的能量方程：:jijiijjip sp sP S()ji i jpVVPx 。2 ()2():()Vd U F VVPP Sk Tqdt 方程中各项意义分析：6代表单位体积流体能量变化率；2 ()2Vd Udt代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；F V代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的
12、功率；()VP 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。()k TqIII2 动能方程动能方程将动量方程 两边同时点积得： 。dVFPdtV()dVVF VVPdt 其中，故有动能定理21()1 22dVd V VdVVdtdtdt。2 ()2dVF VVPdt 上式表明：单位体积流体微团动能变化率作用于该微团上的体力的功率作用于该微团上的合面力 的功率。III3 热流量方程热流量方程：:()dUP Sk Tqdt面力的功率包含两项，其中合面力的功率转化为系统的宏观运动动能，(:)VPP S ()VP 另一部分转化为系统的内能。:P S尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如果系统要维持定常状态，必须 有外力对系统做功，补充其机械能损耗。参考本章后面的例题。IV.IV.本构方程本构方程 数学预备数学预备：记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标系，二阶VEo-xyzo-x y z 张量的张量元满足变换：E，jn imjn imVV xx 其中变换矩阵。i ij ik iijj
