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1、第七章 随机变量的数字特征1第一节 数学期望2一、数学期望的引入例1分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止 赌博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？分析：假设赌博继续下去，情况如下：乙胜甲胜乙胜甲胜甲胜的概率为：.3例1分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法 朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？设甲得到的赌本为X，则X的分布为甲胜的概率为：.甲应该获得赌本的3/4.说明
2、：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义.4例2 在1000次重复试验中，离散型随机变量X取值为 100有300次，取值为200有700次。问X取值的平均值 是多少？ X的分布为：5加权平均数的计算：随机变量的平均值：概率替换频率6二、数学期望的定义为随机变量X的数学期望.7补充说明：加权平均数：离散随机变量期望：连续随机变量期望：频率概率概率注：1)期望是均值的推广或更一般的形式。2)连续随机变量期望公式可由离散随机变量期望公式和定积分定义推出。8910三、一维随机变量的函数的数学期望 11例4 设随机变量X的分布为解：121314数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面的例子
3、.15例8 某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。16解决方法：求随机变量函数的数学期望.关键：17公司每售出一台机器可获利1600元,若机器在售出 1.2万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损 1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以 维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时 以上出现故障，则用户自己负责。18
4、19四、多维随机变量函数的数学期望20211x2y022五、数学期望的运算性质线性性质2324例11 将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放 入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。这种方法称为分解随机变量法，是概率统计 中典型、重要的一种解题方法。25例11 将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放 入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。古典概型26例12 某公司经销某种原料, 根据历史资料表明: 这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300，500) 上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少 货源,可以使平均收
5、益最大？27例12 某公司经销某种原料, 根据历史资料表明: 这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300，500) 上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少 货源,可以使平均收益最大？2829第二节 方差与标准差30引例 比较随机变量X X、Y Y 的期望的期望尽管有相同的期望尽管有相同的期望EXEX= =EYEY, ,但但 Y Y 的取值比的取值比 X X 要要 分散，这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随分散，这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随 机变量的分布特征，还须进一步研究它的离散程度机变量的分布特征，还须进一步
6、研究它的离散程度. .注：注：X X、Y Y的期望相同，但误差取值的波动性不同。的期望相同，但误差取值的波动性不同。对产品质量的稳定性对产品质量的稳定性, ,市场的波动性，市场的波动性， 投资的风险等问题的研究，都涉及到投资的风险等问题的研究，都涉及到 对随机变量分布的分散程度的研究。对随机变量分布的分散程度的研究。 31我们最直接的想法是用我们最直接的想法是用X Xi i- -E E( (X X) )表示离散程度表示离散程度, ,X Xi i- -E E( (X X) )称为离差，它的取值可正可负，且它的数学称为离差，它的取值可正可负，且它的数学期望为期望为0 0，因而不能用它的均值来衡量，
7、因而不能用它的均值来衡量X X对对E E( (X X) )的离的离散程度，为了消除离差取值符号的影响，我们采用散程度，为了消除离差取值符号的影响，我们采用离差的平方离差的平方 X X- -E E( (X X) )2 2的均值来衡量的均值来衡量X X对对E E( (X X) )的离散的离散程度，由此引入程度，由此引入“ “方差方差” ”的概念：的概念：32一、方差与标准差的定义33方差的常用计算公式：方差的定义式：34离散型和连续型随机变量的方差计算公式35离散型和连续型随机变量的方差计算公式36分布列与方差大小的关系：结论1：取值分布集中，方差较小；反之方差较大.37密度函数与方差大小的关系：
8、结论2：密度函数图形较陡峭的方差较小；反之方差较大.38例2 计算泊松分布的方差。解:泊松分布的分布律为39例3 正态分布的方差。40例4 计算指数分布的方差。41二、方差的性质方差不具备线性性质.42例5 计算二项分布的方差。二项分布的可加性注：直接利用二项分布律和级数的运算也可以求出二项分布的期望和方差。43注：本例是数理统计常用的一个重要结果， 它体现了平均值的稳定性。44例7 某人有一笔资金,可投入两个项目:房产和商 业,其收益都与市场有关。若把未来市场划分为好、 中、差三个等级,其发生的概率分别是0.2, 0.7和0.1 。 通过调查,该投资者认为投资房产的收益X(万元) 和投资商业
9、的收益Y(万元)的分布分别为请问：该投资者如何投资为好？45第三节 协方差和相关系数46一、协方差协方差也称为相关中心矩。联合分布中分量间的关系4748协方差的常用性质:注:以上性质可利用定义及期望的性质来证明.4950补充说明：51525354二、相关系数在表示随机变量的关系时,为了消除量纲的影响， 引入了相关系数的概念。55相关系数的性质： 5657补充说明相关系数相关系数 ( (X X, ,Y Y) )刻画了随机变量刻画了随机变量X X、Y Y间线性相间线性相 关的程度。关的程度。 =1=1时，表示时，表示X X、Y Y几乎处处具有线性几乎处处具有线性 关系；关系； =0=0时，表示时，
10、表示X X、Y Y不具有线性关系，但可以不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变 量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性 与不相关与不相关 =0=0是等价的。是等价的。与协方差相比较，相关系数是一个不带单位与协方差相比较，相关系数是一个不带单位 的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映 随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机 变量的比较。变量的比较。5800.511y y= =x x59
11、注:协方差虽然很小,但相关系数却比较大.所以协 方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。60第四节 大数定律与 中心极限定理61事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。这就充 分说明事件的概率是客观存在的。频率的稳定性，便 是这一客观存在的反映。人们还认识到大量测量值的 算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要 讨论的大数定律的客观背景。在概率论中, 用来阐明大量平均结果稳定性的一系 列定理统称为大数定律. 由大数定律, 大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。62一、大数定律63补充说明64依概率收敛的一般形式：652、切比
12、雪夫大数定律663、贝努里大数定律注:贝努里定理是切比雪夫定理的特例,它从理论上证 明了频率的稳定性.只要试验次数 n 足够大,事件 A 出 现的频率与事件 A 的概率有较大偏差的可能性很小. 即可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。674、马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分布 的假设，是适用范围最广的大数定律，也是用来证 明其他大数定律的重要依据。685、辛钦大数定律注：辛钦大数定律给出了求期望近似值的方法观测值的平均，即且这种方法不需要考虑分布的具体形式。69二、独立同分布下的中心极限定理70二项分布的正态近似定理定理2 2棣莫弗拉普拉斯棣莫弗拉普拉斯 中心中心
13、极限定理极限定理71例1 设一个车间里有400台同类型的机器，每台机器 需要用电为Q瓦。由于工艺关系，每台机器不连续开 动，开动的时间只占总工作时间的3/4。问应该供应 多少瓦电力才能以99的概率保证该车间的机器正常 工作？设各机器的开、停是相互独立的分析：正常工作即是要求开动的机器所需要的总电力 不超过所供应的电力，这与开动的机器台数有关。 由于每台机器开、停与否相互独立，且开动的概率 都是相同的，故开动的机器台数服从二项分布。 即认为是相同的试验独立重复做了400次。由于试验次数400较大，其概率计算可以近似用正态 分布来替代棣莫佛拉普拉斯中心极限定律,进 而转化为标准正态分布。 72解：
14、令X表示400台机器中同时开动的台数，则有73例2 为了测量一台机床的质量,把它分成75个部 件来称量。假定每个部件的称量误差服从区间 ( -1,1)上的均匀分布，且各个部件的称量误差是 相互独立的，求机床质量的总误差的绝对值不超 过10kg的概率。解：记各个部件的称量误差为Xi，则总的称量误差为74所求概率为总的称量误差例2 为了测量一台机床的质量,把它分成75个部 件来称量。假定每个部件的称量误差服从区间 ( -1,1)上的均匀分布，且各个部件的称量误差是 相互独立的，求机床质量的总误差的绝对值不超 过10kg的概率。75作业业：76The End！Thank You！Department of Mathematics77
