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1、第三节 曲面及其方程曲面方程的概念 旋转曲面 柱面 二次曲面曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S有下述关系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.一、曲面方程的概念与三元方程0),(=zyxF解所求方程为球心在原点的球面方程例特殊是球面上任一点,例 下述方程表示什么样的曲面？ 解原方程可以表示为： 所以方程表示？研究空间曲面有(1)已知曲面,(2)已知方程,两个基本问题(讨论旋转曲面)(讨论柱面, 二次曲面)求方程;研究图形.二、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定
2、直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便, 平面取作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴.常把曲线所在以一条平面曲线母线轴如图，C为yoz平面内的曲线将得方程代入为曲面上任一点，旋转曲面, 求其方程.f(y,z)=0,C绕z轴旋转一周，形成M是由C上的点 旋转而得到，其中由于旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的绕z轴绕y轴曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 :而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.将下列各曲线绕对应的轴旋转一
3、周,求生成 的旋转曲面的方程.旋转双曲面例双曲线(1)分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转旋转椭球面旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.B方程(A) xOz平面上曲线 绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线 绕z轴旋转所得曲面；(C) yOz平面上直线 绕y轴旋转所得曲面；(D) yOz平面上曲线 绕x轴旋转所得曲面.表示( ).解 圆锥面方程面上直线方程为所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为 圆锥面的顶点,例 两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为 的圆锥面的方程.转轴为z轴,直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周LL圆锥面方程 即 圆锥面方程
4、定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C 称为柱面的 动直线L称为柱面的准线, 母线.所形成的曲面称为移动的直线L 柱面.准线母线例 讨论方程 的图形.在xOy面上, 解现在空间直角坐标系中讨论问题.表一个圆C.过 作平行z轴的直线L,设点 在圆C上, 对L上任意点的坐标也满足方程沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程, 在空间,就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.)0 ,(1yxM,222Ryx=+该方程的图形是以xOy面上圆为准线, 母线平行于z轴的柱面.L平面表示母线平行于z表示母线平行于z轴抛物柱面柱面举例其准线是xOy面 上的抛物线轴的柱面, 的
5、柱面,其准线是xOy面上 的直线从柱面方程看柱面的特征：椭圆柱面双曲柱面 抛物柱面 坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴一般的，含有两个变量的方程在平面和空 间坐标系中表示不同的图形！四、二次曲面1. 二次曲面的定义相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为球面、二次曲面.如: 双曲柱面等)某些柱面(圆柱面、抛物柱面、一次曲面.都是二次曲面.研究的方法是采用截痕法.以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线 (即截痕)的形状,然后加以综合,的全貌.现只研究
6、几种常见的二次曲面的方程.2. 椭圆锥面以垂直于z轴的平面z=t去截此曲面，若t=0,就是坐标原点.随t的增加(截面逐渐远离xoy面)即将z=t代入到 曲面方程得，若t不为0,得这表示一系列椭圆.椭圆逐渐扩大！由此知道此曲面的形状. 问题： 用平行于其余两个坐标面的平面 截这个曲面，截痕是什么形状？3. 椭球面由方程可知即这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：截这个曲面,截痕方程是这些截痕都是 再用平面这些截痕都是椭圆.椭圆大小随z1而变化.椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.与平面 椭圆.同理,的截痕也是椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆方程可写
7、为绕z轴旋转而成.球面方程可写为4. 双曲面单叶双曲面特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.分析：用平行于xoy面的平 面截这个曲面，截痕 是什么形状？ 问题：用平行于其余两个坐标 面的平面截这个曲面， 截痕是什么形状？类似地,亦表示单叶双曲面单叶双曲面.方程双叶双曲面特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号.包含上、下两个曲面.用平面z=t去截此曲面， 当t c时得到什么形状 的截痕？问题：用平行于其余两个坐标面的平面 截这个曲面，截痕是什么形状？5. 抛物面椭圆抛物面问题：用平行于其余两个坐标面的平面截这个曲面 ，截痕是什么形状？a=b时有何特点？用x=t去截曲面得到截痕l这是x=t平面上开口向下的抛物线，顶点坐标为t变化时，l形状不变，位置作平移双曲抛物面 (马鞍面)双曲抛物面 (马鞍面)问题：用平行于xoy面的平面截这个曲面，截痕是什 么形状？作业: 练习册 第八章，第三节 全部课下练习: 教材 第八章，第三节 全部
