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1、概率统计下页结束返回第二章 随机变量及其分布一、随机变量 二、离散型随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布下页概率统计下页结束返回2.1 随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验,观察发芽粒数. 显然=0，1，20，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为 0，1，20.下页例2. 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. 记1= 正面朝上， 2=反面朝上 .X也是定义在=1，2上的函数，是随机变量.X()R概率统计下页结束返回1. 随机变量的定义下页定义 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果对于每一个，都有唯一的一个实数X()与之对应，则
2、称X( )为随机变量，并简记为X .注意：1. X是定义在上的实值、单值函数.2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.3. 随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值.概率统计下页结束返回2. 用随机变量表示随机事件例3. 在灯泡寿命试验中， 灯泡的寿命不低于1000小时可用随机变量X表示为X1000 . 例4. 用随机变量X表示玉米穗位，则玉米穗位在100到120厘米之间可以表示为100X120 .例5. 正面朝上可以表示为X=1 . 一般地：X=k ，X a ，aXb表示一个随机事件.下页3. 随机变量的
3、类型 离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个. 非离散型随机变量一般讨论：连续型随机变量.概率统计下页结束返回2.2 离散型随机变量的概率分布定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为x1 , x2 , , xk , X取各个值的概率为P X = xk = pk , k = 1,2,一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质一般用下面的概率分布表来表示Xx1x2xnPp1p2pn则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布列(律) .下页概率统计下页结束返回 Pk0 (k =1,2，) ；例1. 已知随机变量的概率分布为, 求常数a.解：由概率分布的性质知即 15a= 1, 解得
4、下页分布列的性质概率统计下页结束返回X0123P6白4红10球下页例2. 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取3个，求抽到红球数的概率分布.解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0,1,2,3,且取每一个值的概率分别为X概率分布律为概率统计下页结束返回例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.PX=0=(0.1)(0.1)=0.01PX=1= 2(0.9)(0.1) =0.18PX =2=(0.9)(0.9)=0.81解： 用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2 .XP0 1 20.01 0.18 0.81X
5、的概率分布律为下页概率统计下页结束返回二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义 如果随机变量 X 只可能取0和1两个值, 其概率分布为 即XP1 0p q下页则称 X 服从0-1分布，记作 X B (1 , p ) (p为参数).或概率统计下页结束返回特别当 n=1时，二项分布为退化为0-1分布.2、二项分布显然,下页则称 X 服从参数为 n，p的二项分布, 记作XB(n, p).定义 如果随机变量X的概率分布为概率统计下页结束返回 PX8=PX=8 + P X=9 + PX=10例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求恰好8粒发芽的概率；不少于8粒发芽的概率；能发
6、芽的概率.下页解: 设X表示种子发芽的粒数,则X的所有可能取值为0,1,10,且 XB(10,0.7) ，所求事件的概率为 PX=8 PX1=1-PX=0 解题要点：给出X的 含义；指出X所服从 的分布.概率统计下页结束返回于是所求的概率为例5. 某人进行射击，其击中率为0.02, 独立射击400次, 试求击中的次数大于等于2的概率.0.9972 .下页解: 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击中的次数，则XB(400，0.02)，其分布律为概率统计下页结束返回3、泊松分布则称X服从参数为l (l0) 的泊松分布, 记为 XP(l) . 下页定义 如果随机变量X的概率分布为
7、服从泊松分布的相关概率, 可查表计算. 泊松分布表的计算为概率统计下页结束返回解：设X表示呼叫数，由题意知XP(3)，则 PX=2 = PX 2PX 3= 0.800850.57681 = 0.22404 . P X 6 =1PX 6=10.08392 = 0.91608 . P X 6 呼叫次数不小于6； 呼叫次数小于6； 呼叫数恰好为2.下页例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:概率统计下页结束返回 若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率； 若3人共同维修100台设备呢？ 需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02
8、？解：设 X表示同时发生故障的台数，则XB(n, 0.01)，由于n较大p较小，l=np适中, 可用泊松分布作近似计算. n =30 ，p = 0.01，l=np=0.3，所求概率为 n=100，p=0.01 ，l=np=1, 所求事件概率为下页例7. 某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台 发生故障的概率为0.01 . 求下列事件的概率:概率统计下页结束返回解： 设配备M名工人. n =400， p=0.01，l=np= 4，由题意PX M+10.02,由查表得M+110，即 M9，需配备9名工人.下页 若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率； 若3人共同维修100台设备呢？ 需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？例7. 某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台 发生故障的概率为0.01 . 求下列事件的概率:概率统计下页结束返回4、几何分布定义 若X的概率分布为则称X服从参数为p的几何分布.若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布.下页概率统计下页结束返回作业： 52-53页2 ， 4，6，8 ，11结束
