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1、高三数学一轮总复习学安案学案学案 1616 定积分及其简单的应用定积分及其简单的应用 导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概 念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解 释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F(x)f(x)的F(x)，并运用牛顿 莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的 面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功自主梳理 1定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么函数
2、f(x)在区间a，b上的定积分的几何意义是直线_所围成的曲边梯 形的_ 2定积分的性质(1)kf(x)dx_ (k为常数)；b a(2) f1(x)f2(x)dx_；b a(3)f(x)dx_.b a3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么 f(x)b adxF(b)F(a)，这个结论叫做_，为了方便，我们常把F(b)F(a)记成_，即 f(x)dxF(x)| F(b)F(a)b ab a4定积分在几何中的应用 (1)当xa，b且f(x)0 时，由直线xa，xb (ab)，y0 和曲线yf(x)围成 的曲边梯形的面积S_. (2)当xa，b且f(
3、x)g(x)0 时，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)， yg(x)围成的平面图形的面积S_.(4)若f(x)是偶函数，则 f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx0.aaa0aa5定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)v(t)0在时间区间 a，b上的定积分，即_ (2)变力做功公式 一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从 xa移动到xb (a0 时，S (x2k22kx)dxk0 (xk)2dx (xk)3| 0 (k)3，k01 3k01 3k3
4、 3由题意知9，k3.k3 3 由图象的对称性可知k3 也满足题意，故k3. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数 分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分 得过细(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续，则 f(x)dx2f(x)aaa0dx.解 (1)dxe 1(x1 x1 x2)xdxdxdxe 1e 11 xe 11 x2x2| ln x| |1 2e 1e 11 xe 1 (e21)(ln eln 1)1 2(1 e1 1) e2 .1 21 e
5、3 2(2)0(sin x2cos x)dx 20sin xdx20cos xdx 2 2(cos x)|02sin x|0 2 2cos (cos 0)2 2(sin 2sin 0)1.(3)(2sin x3ex2)dx 02sin xdx3exdx2dx 0 0 02(cos x)|3ex|2x| 0 0 0 2(cos )(cos 0)3(ee0)2(0) 73e2. (4)0x2，高三数学一轮总复习学安案于是|x21|Error! |x21|dx (1x2)dx (x21)dx2 01 02 1| | 2.(x1 3x3)1 0(1 3x3x)2 1 变式迁移 1 解 (1)(cos
6、x)sin x，|sin x|dx|sin x|dx|sin x|dx20 02sin xdxsin xdx 02cos x|cos x| 02 (cos cos 0)(cos 2cos )4.(2)sin2xdxdx 0 0(1 21 2cos 2x)dx cos 2xdx 01 21 2 0x|1 2 01 2(1 2sin 2x) 0( 20)1 2(1 2sin 21 2sin 0). 2 例 2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求 的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值解 作出函数yx2和y3(x1
7、)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为1 2 图中阴影部分的面积解方程组Error!得Error!或Error!所以两曲线交点为A，B(2,2)(2 3，2 9)所以S2 3(x1)2dx2x2dx2 32 31 22 (x22x2)dx2x2dx2 32 31 2Error!2 Error!22 32 3 (8 344) (8 814 94 3)1 6(88 27)4.20 27 变式迁移 2 解 高三数学一轮总复习学安案如图， 设f(x)x3， g(x)x22x3， 两函数图象的交点为A，B， 由Error! 得Error!或Error! 曲线yx22x3 与直线yx3 所围图形
8、的面积S f(x)g(x)dx3 0 (x3)(x22x3)dx3 0 (x23x)dx3 0| .(1 3x33 2x2)3 09 2故曲线与直线所围图形的面积为 .9 2 例 3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数 学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将 其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案s(t)求导后得到速度，对速度积分则 得到路程 解 方法一 由速度时间曲线易知 v(t)Error! 由变速直线运动的路程公式可得s3tdt30dt(1.5t90)dt10 040106040t2|30t|1 350 (
9、m)3 210 04010(3 4t290t)6040 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车 1 min 内所行驶的路程就是速度函数在0,60上 的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，s (ABOC)30 (3060)301 350 (m)1 21 2 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 变式迁移 3 解 (1)设v(t)1.2t，令v(t)24，t20.A、C间距离|AC|1.2tdt20 0(0.6t2)|0.6202240 (m)20 0 (2)由D到B时段的速度公式为 v(t)(241.2
10、t) m/s，可知|BD|AC|240 (m) (3)|AC|BD|240 (m)， |CD|7 20024026 720 (m)C、D段用时280 (s)6 720 24 又A、C段与B、D段用时均为 20 s， 共用时 2802020320 (s) 课后练习区 1D 2.B 3.D 4.D 5.B高三数学一轮总复习学安案60.36 解析 设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为Fkx， 则 1k0.02，k50， F50x，伸长 12 cm 时克服弹力做的功W50xdxx2|0.1220.36(J)0.12050 20.12050 271解析 (2xk1)dxError!1 01 012，k1.
11、2 k1 818 解析 f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)， 即f(2)4，f(x)x28x3，f(x)dx 334323318.3 01 39解 (1)函数y2x2 的一个原函数是yx3ln x，1 x2 3所以 dxError!2 1(2x21 x)2 1ln 2 ln 2.(316 32 314 3 分)(2)2dxdx3 2(x1x)3 2(x1 x2)Error!3 2(2ln 24)(9 2ln 36)ln .(63 29 2 分) (3)函数ysin xsin 2x的一个原函数为ycos x cos 2x，所以 0(sin xsin 2x)dx1 2 3Error!0
12、3 .(9 分)(1 21 4) (11 2)1 4 322(4)32323223112 32 (32 )(23)23 12x dxx dxx dxx dxxdx(3xx2)|1(x23x)|2 .(123 23 21 2 分) 10解 (1)设f(x)ax2bxc (a0)， 则f(x)2axb.又f(x)2x2，高三数学一轮总复习学安案所以a1，b2，即f(x)x22xc.(4 分) 又方程f(x)0 有两个相等实根， 所以44c0，即c1. 故f(x)x22x1.(8 分)(2)依题意，所求面积S (x22x1)dx1 0| .(12(1 3x3x2x)1 01 3 分) 11解 画出直线xln 2，ye1 及曲线yex1 如图所示，则所求面积为图中 阴影部分的面积由Error!解得B(1，e1)由Error!解得A.(4 分)(ln 2，1 2) 此时，C(ln 2，e1)，D(ln 2,0) 所以SS曲边梯形BCDOS曲边三角形OAD(e1)dx (ex1)1ln 21 0dx(7 分)|0ln 2ex1dx|(e1)x|(exx)| |(exx)| 1ln 21 00ln 2 (10 分) (e1)(1ln 2)(e1e0)|e0(eln 2ln 2)|(e1)(1ln 2)(e2)ln 21 2eln 2 .(14 分)袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅
