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1、理论上: 只要 ,就可用克莱姆法则求出唯一解,第三章 线性方程组的解法设有即其中实际上: 当n较大时,1.计算量太大;2.舍入误差太大.两种算法:1.精确法,2.迭代法.3.1 引言1 附录一 用克莱姆法则的计算量计算n个未知数线性方程组需:1.计算n+1个n阶行列式每个行列式展开式有n!项每一项有n个数相乘,要进行n-1次乘法乘法次数:(n+1)n!(n-1)2.n=20时乘法次数:S=2120! 193.用每秒能进行一亿次乘除运算的计算机需用:S/100000000/60/60/24/365307815(年) 30(万年) 23.2消去法一.简单消去法（2）（1）设 令3其中其中（3）4设
2、其中（4）5（5）若 ，则得6 附录二 用消去法的计算量1.消去过程除法次数:乘法次数:2.回代过程乘除次数:3.n=20时总次数7数值太大，造成溢出停机。在简单的消去法中，若二、主元消去法舍入误差太大。8回代取四位小数计算，用简单消去法准确解为例（1） （2）9换一种方法消去(3)(4)回代与准确值接近10讨论其原因 ：两者相减即先求出的 有舍入误差 时，后求出的 有舍入误差实际解为设准确解为11主元消去法按取系数绝对值最大的元素（称为主元）作为该步消去的元素。例（略）123.3 矩阵的LU分解其中若 已知单位下三角阵其中主对角线元素不为0的上三角阵13此时记 则转化为14定理 设有若A的各
3、阶主子方阵的行列式不为0，即15设二、LU分解法16根据上表求L和U，求法如下表 表（P.43）按矩阵乘法规则有下表例1. 将进行LU分解 （下略）17三、用LU分解法求解方程组例2. 利用LU分解求解方程组四、用LU分解求行列式|A|的值紧凑格式将A进行LU分解 A=LU183.4 迭代法准确解为将（1）改写为写成迭代式则有k 0 1 2 3 4 5 6 0 1.62.122.0241.99281.998562.0004320-1.3-1.06-0.982-0.9964-1.00108-1.000216趋于准确解。一.方法介绍（1）例119若将（1）改写为写成迭代式k 0 1 2 30 8.
4、667 37.335-109.1260 4.0000 -17.668-84.358 不趋于准确解。20即改写为二、迭代收敛的条件设有 AX=b （2）21或写成 其中将 改成迭代式即（4）22取初始值，代入（4）可得若 存在.则称迭代过程收敛，即为（3）的解，其中否则称迭代发散。23定理1 则 迭代公式 ，对任意初始值 和 都是收敛的。定理2则 迭代公式 ，对任意初始值 和 都是收敛的。定理3则误差的估计：常用事后误差估计法只要若若设24例2 用迭代法求解（精确到五位小数）（下略）25如何将 ，化为收敛的 形式？1、设A是严格的对角线占优阵可将方程写成例：（P.76）三、方程组的变形必有262. A的主对角线元素 其余则 都很小,可将方程改写为因为 都非常小，有可能使 ，从而迭代过程收敛.例：（P.77）273.5 塞德尔迭代法迭代法称为塞德尔迭代法，也称为异步迭代法。定理1 若 或则塞德尔迭代法对任意的初始值 和 都是收敛的 。28
