《高数第二篇线性代数 第四章 随机变量的数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 第四章 随机变量的数字特征（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 随机变量的数字特征概率论与数理统计讨论随机变量的数字特征的意义前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够 完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需 要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某 些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一 地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产 量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷 粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长 度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较 大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机 变量有关的某些数值，虽然不能完
2、整地描述随机变量，但能描 述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实 践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征 ：数学期望、方差、相关系数和矩1 数学期望例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击击中环环数8910概率0.30.10.6乙射手击击中环环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？解：设两个选手各射N枪，则有甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。离散型随机变量的数学期望定义:设离散型随机变量X的分布率为若级数绝对收敛，则
3、称变量X的数学期望（或均值），记为E(X)。即的和为随机例1：求二项分布 的数学期望 。例2：求泊松分布 的数学期望。例3：随机变量X取值 求数学期望。习题1. (1)在下列句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X).THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT.(2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).解:(1)依题意,X的所有可能取值为: 2, 3, 4, 9; 且有:PX=2=1/8, PX=3=5/8, PX=4=1/8, PX=9=1/8
4、因此,X的分布律为:X2349p1/85/81/81/8E(X)=2*1/8+3*5/8+4*1/8+9*1/8=15/4习题1. (1)在下列句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X).THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT.(2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).解:(2)依题意,Y的所有可能取值为: 2, 3, 4, 9; 且有:Y=2时,所可能取到的单词是:ON, 则PY=2=2/30Y=3时,所可能取到的单词是:THE, PUT,
5、 HER, RED,HAT, 则PY=3=15/30Y=4时,所可能取到的单词是:GIRL, 则PY=4=4/30Y=9时,所可能取到的单词是:BEAUTIFUL, 则PY=9=9/30因此,Y的分布律为:Y2349 p2/3015/304/309/30E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15习题4:设随机变量X的分布律为 j=1,2,证明: 由于级数由数学期望的定义知, X的数学期望不存在.说明X的数学期望不存在.是发散的,故级数不绝对收敛.连续型随机变量的数学期望的值为随机变量X的定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛,则称积分数
6、学期望（或均值），记为E(X)。即例5：随机变量X服从正态分布N(,2),求数学期望。例6：随机变量X服从指数分布 求数学期望。例7：设XU(a,b),求E(X)。例8：由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为 若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N的数学期望。随机变量的函数Y=g(X)的数学期望n定理的意义:求随机变量X的函数Y的数学期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.上述定理可推广到多个随机变量的函数的情况设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y) (g是连续函数), 那 么
7、, Z是一个一维随机变量.若二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有:若(X,Y)为离散型二维随机变量,其分布律为:PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,3, 则有:数学期望的性质数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的性质练习一 一个有n把钥匙的人要开他的门，它随机而独立地试 开，若其中只有一把能开门，若将试开不成功的钥匙立即除去 ；求试开次数的数学期望与方差。2 方差例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击击中环环数8910概率0.30.10.6乙射手击击中环环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？谁的技术
8、稳定些?解：设两个选手各射N枪，则有甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。问：那个射手技术稳定些？显然乙射手的技术稳定些。衡量技术稳定性，可以考虑用随机变量与其均值的偏离程度，如E|X-E(X)|或 EX-E(X)2方差随机变量X的方差与数学期望有如下关系：D(X)=E(X2)-E(X)2方法二:令方差的性质方差性质的证明方差性质的证明方差性质的证明方差性质的证明方差的性质若且它们互相独立那么,它们的线性组合(其中不全为零), 仍服从正态分布,且切比雪夫不等式切比雪夫不等式的证明注意切比雪夫不等式可以使我们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X-|0, D(Y)0, X和Y的相关系数为:因此, X和Y是不相关的.n习题29 设XN(,2), YN(,2), 且设X,Y互相独立,试求Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数(其中a,b是不为零的常数).n分析:由相关系数的定义知:4 矩、协方差矩阵矩的概念矩的概念二维随机变量协方差矩阵的概念n维随机变量协方差矩阵的概念N维随机变量(X1, X2, , Xn)的二阶混合中心矩都存在,则称矩阵为随机变量的协方差矩阵. 显然,上述矩阵是一个对称矩阵.
