函数极限的运算

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1、1.1. 3 3 函数极限的运算函数极限的运算课题：课题： 函数极限的运算 目的要求：目的要求：掌握极限四则运算法则及两个重要极限。 重点：重点： 利用极限四则运算法则求极限，利用两个重要极限求极限。 教学方法：教学方法：讲练结合 教学时数：教学时数：2 课时 教学进程：教学进程： 一、一、函数极限的运算法则函数极限的运算法则 与数列极限相仿，比较复杂的函数极限也需要用极限的运算法则来进行计算下面给出 函数极限的四则运算法则（证明从略） 设则：BxgAxf)(lim,)(lim1BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim2BAxgxfxgxf)()(lim)()(lim3 (C 为

2、常数).)(lim)(limACxfCxfC4)0()(lim)(lim )()(limBBA xgxf xgxf例例 求)53(lim22 xx x例例 求lim 1x75222 xxx例例 求22lim 2xxx例例 求932 3limxxx例例 求 22039limxxx例例 6 求 xlim232321 25xx xx 例例 7求 xlim332321 25xx xx 例例 8求 xlim32321 25xx xx 二、两个重要极限二、两个重要极限1重要极限 0lim xsin1x x函数的定义域为的一切实数，当任取一系列趋向于零的数值时，函数sin x x0xx的值无限接近于，由极限

3、定义知sin x x0lim xsin1x x重要极限具有以下两个特征：（1）类型为“”型未定式；（2）分子中 0lim xsin1x x0 0 sin 后面的函数与分母相同例例 求 0lim xsin3x x例例 10 求 0lim xtan x x例例 11 求 0lim x21cosx x例例 12 求2coslim2 解解 因为，可设，当时，)2sin(cos2t20t所以 =2coslim2 0sin1lim tt t2重要极限 xlimexx)11 (当时，无限接近于一个常数记这个常数为由极限定义xx x)11 ( 2 71828.e可得 xlimexx)11 (重要极限具有以下两

4、个特征：（1）类型为“1”型未定式；（2）底 xlimexx)11 (数是两项之和，第一项为 1，第二项与指数互为倒数；（3）令，则当时，1 xx 于是此极限又可写成 0 0lim e1 )1(例例 13 求 xlimX x)31 ( 例例 14 求 0lim xxx1 21）（ 例例 15 求 xlimx xx）（21 三、无穷小的比较三、无穷小的比较我们知道，当时，都是无穷小，而0x23xxx， 0lim x，032 xx0lim x，23 xx0lim x33xx两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的快慢程 度所以无穷小量的比较是指这种趋向于 0 的“快”与“慢

5、”的比较，可以用它们在同一 变化过程中的比值的极限来衡量 定义定义 设和都是在自变量同一变化过程中的无穷小，那么：)(x)(x(1) 如果=0，则称是的高阶无穷小量高阶无穷小量；)()(limxx )(x)(x(2) 如果，则称是的低阶无穷小量低阶无穷小量；)()(limxx )(x)(x(3) 如果=，则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量，当=1 时，即)()(limxx A0)(x)(xA=1，则称与是等价无穷小量等价无穷小量记为：)()(limxx )(x)(x)(x)(x当时，常见的等价无穷小量有：，0xxsinxxarcsinxxtanx，我们在求极限时，分子、xarctanxxcos12 21x)1ln(xx1xex分母及在乘积因式中，可用等价无穷小代换，这种代换可使极限计算简化例例 16 求 0lim xxxx sincos1例例 17 设，求 k 的值 3lim x4322 xkxx小结本讲内容：小结本讲内容：1.极限四则运算法则 2. 两个重要极限的特点 3. 无穷小的比较作业作业： P21 1； 2；3；4。