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1、20132013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析 例例 1 1 如图 1，已知正方形OABC的边长为 2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外） ，直线PM交AB的延长线于点D （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示） ； （2）当APD是等腰三角形时，求m的值； （3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线， 垂足为H（如图 2） 当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的 路长（不必写解答过程） 图 1 图 2 解析解析（1）因为PC/D
2、B，所以因此PMDM，CPBD2m所以1CPPMMC BDDMMBAD4m于是得到点D的坐标为(2，4m) （2）在APD中，22(4)ADm224APm222(2)44(2)PDPMm当APAD时，解得（如图 3） 2(4)m24m3 2m 当PAPD时，解得（如图 4）或（不合题意，24m 244(2)m4 3m 4m 舍去） 当DADP时，解得（如图 5）或（不合题意，2(4)m244(2)m2 3m 2m 舍去） 综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或3 24 32 3图 3 图 4 图 5（3）点H所经过的路径长为5 4考点伸展考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用
3、几何说理的方法，计算更简单：如图 3，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，1 2PCMB CMBA1 2PC 3 2m 如图 4，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得42mm4 3m 第（2）题的思路是这样的： 如图 6，在 RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说 点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7，P与O重合时，是点H运动的起 点，COH45，CGH90图 6 图 7 例例 2 2 如图 1，已知一次函数yx7 与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交4 3yx于点B （1）求点A和点B的坐标； （2）
4、过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y 轴动点P从点O出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以 相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点 R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点 P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的 时间为t秒 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积 为 8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在， 请说明理由图 1 解析解析（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)7, 4,3yxyx 3, 4.x y 令，得所以点B的坐标是(7，0)70yx
5、7x （2）如图 2，当P在OC上运动时，0t4由，8APRACPPORCORASSSS梯形得整理，得解得t2 或1113+7) 44 (4)(7)8222tttt （28120ttt6（舍去） 如图 3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为 6 因此，当t2 时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为 8图 2 图 3 图 4 我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以4 2AB OBAB因此OABAOBB 如图 4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴 因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况
6、此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，3cos5A7APt5520 333AQOAOQOAORt如图 5，当APAQ时，解方程，得520733tt 41 8t 如图 6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程 ，得72(7)(4)ttt 5t 如 7，当PAPQ时，那么因此解方程1 2cosAQ AAP2cosAQAPA，得52032(7)335tt226 43t 综上所述，t1 或或 5 或时，APQ是等腰三角形 41 8226 43图 5 图 6 图 7 考点伸展考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解2cosAPAQA
