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1、1浅谈高中数学课标教材浅谈高中数学课标教材“解析几何解析几何”的内容、要求与特点的内容、要求与特点张劲松1（人民教育出版社 100081）摘摘 要要 解析几何是高中数学的经典内容，在高中数学课程中占有重要地位。如何在传统的基础上编出新意，是我们在教材编写过程中考虑最多的一个问题。本文在明确解析几何主要内容和教学要求的基础上，概述了解析几何教材的七个主要特点，这七个特点是在教材编写中尝试编出新意的七个方面。关键词关键词 解析几何 教材 内容 要求 特点 “解析几何”是高中数学的经典内容。回顾近二十年的高中数学课程教材改革，1997 年前， “解析几何”单独成册平面解析几何 ，与代数 （下册）同时
2、开设，在高二两个学期完成，约 50 课时（包括选学内容“参数方程、极坐标” ，约 14 课时） 。1997 年后， 全日制普通高级中学数学教学大纲 （以下简称大纲 ） “解析几何”教材包括两章内容：“第七章 直线和圆的方程” “第八章 圆锥曲线方程” ，以及“研究性学习课题与实习作业 线性规划的实际应用” ，共 43 课时。普通高中数学课程标准（实验） （以下简称标准 ）中“解析几何”内容包括必修课程数学 2 中的“平面解析几何初步” ，选修课程系列 1 的选修1-1 或系列 2 的选修 2-1 中的“圆锥曲线与方程” ，以及系列 4 中的“选修 4-5 坐标系与参数方程” 。依据标准的要求、
3、教材在编写时的思考以及各地教学的实际情况，本文所说的“解析几何”只包括“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程” （选修 2-1） ，共 34 课时。目前标准把“内容与要求”合在一起写，虽然表述容易，但有些内容不明确，教还是不教，难以把握，弹性很大。具体到教材的编写，不同版本的教材存在一定的差异。因此本文首先明确“解析几何”的主要内容，在此基础上，再谈具体的教学要求，最后概述“解析几何”教材的主要特点。希望对实验区教师了解教材，进行教学有一定的帮助。一、解析几何的主要内容一、解析几何的主要内容1 张劲松（1972 ） ，山东聊城人，人民教育出版社副编审、课程教材研究所副研究员，主要从事数 学课程
4、与教材研究、编写、编辑等工作。2依据标准和编写普通高中课程标准实验教科书数学A 版时的思考和实践，我们认为“解析几何”的主要内容是：1直线与方程直线与方程直线的倾斜角和斜率。过两点的直线斜率公式。两条直线平行与垂直的条件。直线的点斜式方程。直线的斜截式方程。直线的两点式方程。直线的一般式方程。直线的斜截式方程与一次函数。两条直线的交点坐标。两点间的距离公式。点到直线的距离公式。两条平行直线间的距离。2圆与方程圆与方程圆的标准方程。圆的一般方程。直线与圆的位置关系。圆与圆的位置关系。直线与圆的方程的简单应用。3 3圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程椭圆及其标准方程。椭圆的简单几何性质。双曲线及其标准方
5、程。双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程。抛物线的简单几何性质。直线与圆锥曲线的位置关系。曲线与方程、方程与曲线。求曲线的方程。圆锥曲线的简单应用。需要说明的是， 标准把二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划及其应用等内容放在普通高中课程标准实验教科书数学 5A 版“第二章 不等式”的内容中，强调不等式是刻画现实世界不等关系的数学模型、解决优3化问题的重要工具之一，突出不等式的应用价值。而这些内容在大纲教材第二册（上）的“第七章 直线和圆的方程”中，是直线方程内容的一部分，在直线方程的基础上，引出二元一次不等式、平面区域和线性规划等内容。另外，高中数学课标教材“解析几何”不包括两条直线
6、所成的角、圆的参数方程、椭圆的参数方程等内容。二、解析几何的教学要求二、解析几何的教学要求主要内容明确后，下面就是教学要求。教学要求把握的是否恰当，直接影响课堂教学质量和效益。现在一个普遍的现象是，教学要求偏高，很多学校和教师搞一步到“位” 。教学和学习脱离正常的轨道，忽视知识螺旋上升的安排，违背学生循序渐进的学习规律，结果学生课业负担过重，教师“课业”负担也很重。解析几何的教学要求是：1直线与方程直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂
7、直。根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。2圆与方程圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。3圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程4（1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义
8、、标准方程、几何图形及简单性质。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。（2） 曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。对于标准 “说明与建议”部分提到的一些内容，在教材编写过程中，教材做了一定的弹性处理，一定要把握好它们的教学要求。教学中，老师经常说的圆锥曲线的“第二定义” 、圆锥曲线的离心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第
9、二定义”在教材相关部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义” 。在拓展性栏目“信息技术应用 用几何画板探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应用 用几何画板探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义” ，但是作为选学内容。圆锥曲线都是平面上一个动点到一个定点和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹。试想，在平面上给出一个定点和一条定直线（定点不在定直线上） ，一个动点到这个定点和它到这条定直线的距离的比无非是三种情况：等于 1、大于 1、小于 1，因此它们有统一的定义、统一的方程。这是一个非常美妙的结论。这个比我们称之为圆锥曲线的离心率，这个定义称之为圆锥曲线的统一定义。按
10、照圆锥曲线的统一定义，我们可以建立它们的统一方程。在教材中我们安排了一个拓展性栏目“探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程” ，供学有余力的学生学习参考。但是这些不作为基本要求，属于选学内容，一定要认真把握。5另外，我们讨论的圆锥曲线的方程都是标准方程，并利用它们的标准方程研究它们的性质。非标准形式的圆锥曲线方程不是目前研究的内容，不要给学生补充这方面的内容。三、解析几何的主要特点三、解析几何的主要特点经典的解析几何内容如何在传统的基础上编出新意，是我们在编写过程中考虑最多的一个问题。这部分内容除全面贯彻本套教材提出的“思想性” “问题性” “联系性”等特点外，还希望通过教材呈现方式的改进，推
11、动教师教学方式和学生学习方式的改进，努力编出新意。下面概括的七个主要特点，是我们尝试编出新意的几个方面。1. 明确解析几何的基本思想方法：解析法（坐标法）明确解析几何的基本思想方法：解析法（坐标法） ；突出用方程研究曲；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题的程序性和普适线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题的程序性和普适性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系解析几何的基本思想方法是解析法（坐标法） ；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质。在普通高中课程标准实验教科书数学 2A版中首先
12、建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程，然后通过它们的方程，研究它们的几何性质，主要是直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，知道了它们的一些主要几何性质，包括圆锥曲线的切线、圆锥曲线的光学性质、离心率等等。它们的性质是圆的几何性质的自然推广。但是这种研究，技巧性很强，不是普适的方法。17 世纪初期，笛卡儿发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线，也就是我们常说的解析几何的基本思想方法：解析法（坐标法） 。这种思想方法的基本特点是程序性和普适性。说其程序性，是指解析
13、几何解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。说其普适性，是指一旦确定直线、圆及圆锥曲线的方程，那么它们的主要几何性质，如位置关系、距离、夹角等，原则上可由这些曲线的方程通过代数运算唯一确定和解答。而综合法处理这些几何性质时，有时需要很强的技巧， “就事论事” 。在直线与方程、圆与方程的内容中，我们渗透了曲线与方程、方程与曲线的关系，学生对“曲线与方程” “方程与曲线”有了一定程度的认识。在这个基础上， 普通高中课程标准实验教科书数
14、学 选修 2-1A 版中明确提出“曲线6与方程” “方程与曲线”的关系。随着椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的学习，通过它们的方程研究它们的简单几何性质，学生可以不断体会“曲线与方程” “方程与曲线”的关系。这种关系贯穿解析几何的始终，学生对它的体会，是一个长期反复的过程。在普通高中课程标准实验教科书数学 选修 1-1A 版中虽然没有明确提出“曲线与方程” “方程与曲线”的关系，但在给出每种圆锥曲线的标准方程之前，都渗透了“曲线与方程” “方程与曲线”的思想。从大的范围看， “曲线与方程” “方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数
15、方法研究几何问题，是数形结合的重要方面。2 2抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建立轨迹的方程抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建立轨迹的方程轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形） ，其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程，判断轨迹的形状，研究轨迹的几何性质。圆、椭圆、双曲线、抛物线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变，其中圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆是到两个定点的距离的和等于定长的点的集合，双曲线是到两个定点的距离的差的绝对值等于定长的点的集合，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的
16、点的集合。直线是平面上最简单的图形之一，两点确定一条直线。尽管我们已经知道，一次函数的图象是一条直线，但从解析几何的角度看，其方程的建立bkxy还需要一个过程，我个人的感觉，比圆、圆锥曲线的方程建立稍显复杂。从函数的角度出发，我们是由一次函数的解析式画出它的图象：直线，但bkxy它研究的是数量关系，图象是它的直观载体。现在，我们已知直线建立其方程，就要寻求动点在变化过程中的不变量，这个不变量不是距离，而是角度。为此，在引入直线的方程前，我们先介绍直线的倾斜角和斜率，倾斜角是表示直线倾斜程度的量，斜率进一步把直线的倾斜程度量化。这样，我们首先建立直线的点斜式方程，在此基础上，再建立直线的两点式、一般式方程。3介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意引入的过程，并对过程进行分析。在过程
