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1、*第三章 数学物理定解问题31第三章 数学物理定解问题3.1 数学物理方程的导出3.2 定解条件3.3 数学物理方程的分类3.4 行波法 达朗贝尔公式*第三章 数学物理定解问题323.4 行波法 达朗贝尔公式1、达朗贝尔公式 (DAlembert)研究无限长均匀弦的横振动问题(即，柯西问题)，泛定方程和初始条件为(1)特征方程为(dx/dt)2-a2=0，通解x+at=C1，x-at=C2. 取x=x+at, h=x-at，得到方程(1)的标准形式(2)*第三章 数学物理定解问题33先对h积分，得其中f(x)是任意与h无关的函数；再对x积分，得这是式(2)的通解，也是泛定方程(1)的通解. f
2、1和f2由初始条件确定：(3)对第二式积分，得(4)*第三章 数学物理定解问题34联立方程，得最后得到满足初始条件的特解 (即，达朗贝尔公式)其中j(x)是弦的横向初始位移，第二项中y(x)是初始速度。(5)*第三章 数学物理定解问题352、j(xat)的含义波形在演化过程中未变，只是以速度a向左、右两个方向移动 ，因此称j(xat)为行波。设弦上各点初始速度y(x)=0，初始位移为j(x)=e-x2/5，该高斯波 形的演化j(xat)如图所示(取a=2)：xtj右传播波: j(x-at)左传播波: j(x+at)*第三章 数学物理定解问题36xtu(x,t)进一步研究 的演化，仍取高斯波形j
3、(x)=e-x2/5作为初始位移，则u(x,t)的演化如图所示：左、右两支行波的波峰为初始 时刻波峰的一半。*第三章 数学物理定解问题37例1. 设无限长均匀弦的初始速度y(x)=0，初始位移为由达朗贝尔公式得3、举例*第三章 数学物理定解问题38不失一般性，取参数x1=-1, x2=1, u0=1, a=1. t=0t=1/4t=1/2t=3/4t=1t=5/4xxxxxxuuuuuu(i) t0时，u=f1(x+at)+f2 (x-at), 与达朗贝尔公式无异！*第七章 数学物理定解问题 习题课12若x-atx/a时，根据Eq.(13)得(13)*第三章 数学物理定解问题314特例2: 如
4、果在x=0处端点固定，即g(t)=0, 由Eq. (13)可得(14)右行波(奇延拓之后的)右行、反射波左行波例如半无限长弦固定端点 ，假定没有初始速度*第三章 数学物理定解问题315反射波有半波损失，发生在at=1时刻附近，at1时，弦振动沿负方向(向下 ). 兰线为左行波，红线是它的奇延拓波，右边细黑线表示右 行波.t=0t=0.25t=0.5t=0.75t=1t=1.25t=1.5t=1.75t=2t=2.5*第三章 数学物理定解问题3162）第二类边界条件情况(15)(16)(17a)考虑半无限长杆的纵振动问题，定解问题为令通解为由初始条件得 (重复Eq.(8a)Eq.(9b), 此处省略，v)(17b)其中C=f1(0)-f2(0) 为积分常数. *第七章 数学物理定解问题 习题课17(18)(19a)(19b)当x-at0，存在d，当|j1-j2|x/a时
