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1、幂函数 大连市第一中学数学教师 王丹一、教学目标知识与技能： 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用过程与方法： 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性 质情感、态度、价值观 ： 通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究 函数变化的过程中渗透辨证唯物主义观点二、教学重点重点： 幂函数的概念、图象和性质难点 ： 将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质三、教学方法和手段采用师升互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性。利用计算机辅助教学。四、教学过程教学 环节
2、教学内容师生互动设计意图组织 教学上课，同学们好！ 老师好！ 问好的过程是师生情感沟通的过程，教师应该重视新课 引入下面给出三个具体例子1.如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积为:2xy 2.如果正方形场地的面积为 x,那么正方形的边长为:21 xy 3.如果某人 x 秒内骑车行进了 1km,那么他的平均速度为:1 xy学生思考、 交流、口答， 教师板演由生活中 的实例引入， 概念过渡自然， 学生易于接受。培养学生观察、（由生活中的实例引入，概念过渡自然，学生易于接受。）观察他们有以下共同特征： 学生答：（培养学生观察、归纳、概括能力） 1 都是函数； 2 都是以幂的底数为自变量； 3 都
3、是指数为常数。 学生答：（由特殊到一般，由具体到抽象，培养学生归纳、概括能力）（类比指对函数的定义方法）一般式：，从而归纳出幂函数的 xy 定义，即 教师：（学生口述师板演）一般地，形如的函数叫幂函数，其中 为常数。与 与与 与Rxy 教师：说明，但在高中阶段只研究有理数范围。R 教师问：请同学举几个幂函数的例子 学生答教师问：（通过反例加深对概念的理解）判断，是否是幂函数xy3 3xy xay axy （学生答，出现问题自己纠正）学生能类 比指对函数 定义方法归 纳出幂函数 定义。归纳、概括能 力。加深对幂 函数定义的理 解比较幂函 数与指数函数 定义的区别教师问：如何来研究幂函数的性质？
4、学生答：通过函数的图象来研究函数的性质。 教师：以下面函数为例画出函数的图象来研究函数的性质 作出下列函数的图象xy )1(21 )2(xy 2)3(xy 1)4( xy3)5(xy （发给学生印有坐标系和表格的题单，分别找五个同学到黑板作图， 每人板演一个图。培养学生的动手能力，请五位同学到黑板作图）最后，把每个单独的图象在大屏幕呈现，并把五幅图象在同一直 角坐标系中呈现。注：表格的数值同学自己运算，1.41 和 1.73 教师给出.在之间遵循教材,不加数值,培养学生探究问题的能1 xo发给学 生印有坐标 系和填好数 据表格题单， 学生动手画 图象，教师 巡视指导。通过作图 训练学生的动 手
5、实践能力， 并下面的学习 提供丰富的直 观材料，使其 在实践中发现 问题。培养学 生的作图技能、 探索创新精神、 批判性思维。力.为 与 1的关系埋下伏笔.解：列各函数的对应值表：见教材 116 页它们的图象如图所示。画图象过程中可能会出现在图象的位置关系不1 xo 准确的情况，让学生通过讨论研究，得出正确的位置关系。（培养学生发现问题和独立解决问题的能力，严谨治学实 事求是的态度，锲而不舍的精神。）学生观察图象，归纳图象特征。请同学代表到黑板前结合 图象为大家讲解。（对不完善的地方由学生自主讨论补充） 培养学生数学表达和交流能力归纳：在大屏幕显示（按学生归纳的先后顺序逐条显示）从这些函数的图
6、象我门可以看到，幂函数随着 的取值不同，他们的定义域、性质和图象也与 与与 与Rxy 不相同，但他们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都 过点（1，1）；学生观察 图象，归纳 图象特征。学生观察 图象，总结 规律。培养学生 看图、析图能 力，培养学生 的归纳概括能 力，培养学生 的想象能力， 让学升自主探 究，主动学习。（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数（3） 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减 函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴 右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上 方无限地逼近 x
7、 轴正半轴师指出当幂指数取 2，3 时图象的特征我们已经知道了， 那么幂指数取 4，5 时图象的特征是什么？进一步引导学生大 胆猜想时图象特征。由学生自主猜想出和1 00 两种情况下的图象特征。0 按学生归纳的先后顺序逐条显示由具体函数抽象出幂函数在第一象限的图象.不管取何值，幂函数的公共定义域为（0，+），可 见幂函数第一象限内总有图象，因此作幂函数的图象应该先 从第一象限入手。 （学生总结归纳）1xyo110101幂函数在第一象限内，当时的图 xy 1, 10 , 0 象如图所示，的图象有何不同？110 , 与 与教材“思考与讨论”的处理: 图象前110 , 与 与面已打下伏笔,所以很好解
8、释;指对函数不具备奇偶性, 幂培养学 生数学表达 和交流能力函数当幂指数 取不同值时, 奇偶性是不同的.由学生举例哪 些是奇函数,哪些是偶函数.总结出一般规律:当是正偶数时, 幂函数是偶函数; 当是正奇数时, 幂函数是奇函数. 所以作幂函数简图时，应该先作出第一象限内的图象，再根据幂函数的奇偶性完成图象。应用 举例例 1 讨论函数的定义域奇偶性，作出它的图象。并根32 xy 据图象说明函数的增减性。比较下列两个代数式的大小： 在处理教材时，把例题顺序调整了，目的是刚研究完函 数的图象，自然地过度到本例题，再比较大小。例 2将幂函数，45 )1(xy 54 )2(xy 2)3( xy，的题号填入
9、下面对应的图象下方的括号内31 )4(xy 其余图略o（我们对幂指数是分数的情况研究的比较少，所以补充 练习该题。 ）互动环节：随意找一名同学到黑板前，其他同学任意给 出幂函数，该同学能画出简图。 让学生积极参与课堂教学，成为课堂主人。例 3 比较下列两个代数式的大小5 . 15 . 1,)1)(1(aa 32 32 22,)2)(2( a52 32 52 )9.1(,8.3,1.4).3( 培养同学数学建模思想，对于（2）也可以构建指数函数， 让同学自己总结哪种建模更简单。 在比较大小以后，老师引导同学在此基础进行变形，举以 反三。倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式。例 4 设，则（ ）2
10、 . 03 . 03 . 03 . 0,3 . 0,2 . 0 cbacbaA .cbaB .学生思考 解答，教师 分析学生的 掌握知识情 况。例 3，学 生可能会全 部利用指数函数的单调 性，让同学 自己总结哪 种方法更简 单。让学生 积极参与课 堂教学，成 为课堂主人。熟练各 种幂函数图 象的特征。利用图象 来解决问题， 同时加深学生对幂函数及 其性质的理 解。bcaC .cabD .分析：比较 a,b 的大小，需利用幂函数的单调性，比较3 . 0xy b,c 的大小，需利用指数函数的单调性。xy3 . 0 应用：当时，下列不等式正确的是（ ）10 babbaaA)1()1.(1 baba
11、B)1()1.( 2)1()1.(b baaC babaD)1()1.( 归纳 小结1幂函数的定义； 2幂函数的图象和性质； 3画幂函数图象的方法； 4比较大小的方法；数学思想有：数形结合的思想、分类讨论的思想； 本节用到的数学方法有：观察与分析、概括与抽象、类比与归纳。让学生 回忆本节课 的收获，然 后师生共同 完成本节小 结。巩固本节 学习成果，使 学生逐步养成 爱总结、善总 结、会总结的 习惯和能力。布置 作业教材 118 页，习题 A1，3习题 B1，2，3，4 自学：教材第 118119 页的“探索与研究”。巩固本节课 所学内容，培 养自学能力。题单作出下列函数的图象，xy )1(21 )2(xy 2)3(xy 1)4( xy3)5(xy 3 列各函数的对应值表：x3 2 1 0123 xy 21 xy 2xy 1 xy3xy
