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1、对初中数学解题教学的对初中数学解题教学的认识与思考认识与思考舟山南海实验初中舟山南海实验初中 郑伟君郑伟君 张宏政张宏政e-mail : nhxx_;e-mail : nhxx_;cz-cz-T:(0580)2091040 T:(0580)2091040；20911152091115“问题是数学的心脏问题是数学的心脏, ,数学是思维的体操数学是思维的体操” ” 数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学 生的思维能力的！生的思维能力的！对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要著名数学家
2、和数学教育家项武义先生说，教数学要 教给学生教给学生“大巧大巧”通性通法，要教学生通性通法，要教学生“运用之运用之 妙，存乎一心妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能，以不变应万变，不讲或少讲只能 对付一个或几个题目的对付一个或几个题目的“小巧小巧”. . 但思维能力的提高不能拘泥于一招一式但思维能力的提高不能拘泥于一招一式, ,应该讲应该讲“一一 般有用的方法般有用的方法”小巧固不足取，大巧也确实太难小巧固不足取，大巧也确实太难. . 对于大多数学生，对于大多数学生， 还要重视有章可循的招式。还要重视有章可循的招式。由小到大，以小御大，小由小到大，以小御大，小 题做大，小中见大题做大，
3、小中见大. . 对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考一、解题教学必须让学生一、解题教学必须让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”五、充分提高例（习）题的教育价值五、充分提高例（习）题的教育价值二、教师应加强对波利亚解题思想的理解二、教师应加强对波利亚解题思想的理解四、提高学生解题能力的要素分析三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法六、解题错误分析六、解题错误分析案例案例1 1：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？问题问题: :已知：如图，已知：如图，H H为为ABCABC内任意一
4、点，连结内任意一点，连结AHAH 并延长交并延长交BCBC于于D D，连结，连结BHBH并延长交并延长交ACAC于于E E，连结，连结CHCH并并 延长交延长交ABAB于于F F，求证：，求证：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.A AB D CB D CFE EH H一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”A AB D CB D CFE EH H变证为猜！猜变证为猜！猜DH/AD+EH/BE+HF/CF=?DH/AD+EH/BE+HF/CF=?一般问题一般问题特殊化方法特殊化方法类比思想类比思想回归特殊问题回
5、归特殊问题一般结论一般结论一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”案例案例2 2：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？问题：如图问题：如图1 1，已知，已知ABCABC中，中，AB=AC,PAB=AC,P是是ABCABC内部任意一点，将内部任意一点，将 APAP绕点绕点A A顺时针旋转至顺时针旋转至AQAQ，使，使QAP=QAP=BACBAC，连结，连结BQBQ，CPCP，则，则 BQ=CP”BQ=CP”小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了 ABQABQACPACP，从而证得，从而证得BQ=CPBQ=CP
6、之后，将点之后，将点P P移动到等腰移动到等腰ABCABC外，外， 原题中的条件不变，发现原题中的条件不变，发现BQ=CPBQ=CP仍然成立，请你就图仍然成立，请你就图2 2给出证明。给出证明。AB CP PQQ图图1 1A AB CB CQQP P图图2 2（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析）一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”AB CP PQQ图图1 1A AB CB CQQP P图图2 2教师：如图教师：如图2 2，AQAQ是由是由APAP旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？旋转得到的
7、，因此它们之间的关系是怎样的呢？学生学生1 1：相等。：相等。教师：由教师：由QAP=BACQAP=BAC可得可得QAP+BAP=BAC+BAP,QAP+BAP=BAC+BAP,于是有于是有QAB=PACQAB=PAC，题，题 中还有一个已知条件是中还有一个已知条件是AB=ACAB=AC，那么能否得到，那么能否得到ABQACPABQACP呢？为什么？呢？为什么？学生学生2 2：能得到，根据：能得到，根据SASSAS定理。定理。教师：这样我们便知教师：这样我们便知BQ=CPBQ=CP仍然成立。仍然成立。案例案例2 2：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更
8、知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”这种这种“ “以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读” ”的的 教学现象和教学现象和“ “以为教师对问题已经理解便认为学生也就以为教师对问题已经理解便认为学生也就 能明确问题所提供的条件信息和目标信息能明确问题所提供的条件信息和目标信息” ”的教学观念的教学观念 ，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生是否，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生是否“ “明明 确了问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里确了问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里 建立起问题的表象建立起问题的表象” ”了呢？这些都是学生进行数学
9、问题了呢？这些都是学生进行数学问题 解决的第一步，也是至关重要的一步。否则学生扮演解决的第一步，也是至关重要的一步。否则学生扮演 的无非是教师的的无非是教师的“ “同声筒同声筒” ”角色，这样的教学，是无法角色，这样的教学，是无法 产生理想的教学效果的。实验表明，对于数学题而言产生理想的教学效果的。实验表明，对于数学题而言 ，教师的有声读题在引起学生注意力水平上低于学生教师的有声读题在引起学生注意力水平上低于学生 默读默读。因此，本例应让学生默读问题，自主分析题中。因此，本例应让学生默读问题，自主分析题中 信息，并尝试用自己的语言解释题目中的信息。信息，并尝试用自己的语言解释题目中的信息。一、
10、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”教学中教师常发出信息：教学中教师常发出信息：你们都听懂了吗？你们都听懂了吗？收到学生回复的信收到学生回复的信 息也常是：息也常是：听懂了。听懂了。于是教师便以为学生真的懂了。其实，于是教师便以为学生真的懂了。其实，“ “听听 懂懂” ”与与“ “真懂真懂” ”之间仍有着明显的差距。之间仍有着明显的差距。“ “听懂了听懂了” ”仅表明学生能在仅表明学生能在 他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。但数学问但数学问 题的题的关键是寻找解题思路和突破解题的难点。关键是寻找解
11、题思路和突破解题的难点。若学生不能真正若学生不能真正 领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思路上相互领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思路上相互 之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于那些理解之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于那些理解 能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题时，仍然能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题时，仍然 难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生理解他人难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生理解他人 解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，通过个解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，通过
12、个 别辅导或同伴互助等方式，别辅导或同伴互助等方式，帮助他们能从自身的思路出发获得帮助他们能从自身的思路出发获得 解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，进而领解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，进而领 悟问题解决的策略。悟问题解决的策略。故此，问题解决后，教师应组织学生反思故此，问题解决后，教师应组织学生反思 思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分析、归思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分析、归 纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能力。纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能力。一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！
13、知其然，更知其所以然！” ”一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”案例4：解题贵在揭示本质如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落 在点E处，BE交AD于F，连结AE。求证：AEBD.B CA DEF解出习题并不是学习数学的全部 或最终目的，应通过反思活动， 去挖掘题目背后的本质，若对图 形的几何本质没有实质性的揭示 ，各种证明方法只能是同一水平 的简单重复。一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”l1l2图a图b图c数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过 程，基本原理的归纳
14、与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的 发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在 联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学理性精神。ABCABC中，中，CHCHAB,AB,A=2 A=2 B,B,说明：说明：AH+CA=BHAH+CA=BH案例5：教师的作用在哪里？ 教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：P是ABC内一点,PEAB,PFBC, EPF = 60,求BMN +CNM. 教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动 着学生的思维积极性： 师:只知道一个角的大小,但有两个平行关系,如何来求解呢？ 问题不难，学生的水平又不错,于是一个个解法被学生们发现了! 每一个提出了新解法,为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的 学生,当教师夸奖他并叫他坐下时,自得的心情溢于言表.于是,课 堂的气氛十分活跃！ 生1：我利用同旁内角BMN =180-MPE，CNM =180- NPF BMN +CNM =180-MPE +180-NPF =180+EPF =240AB E F CMNP一、要让学生一、要让学生“ “知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！” ”案例5：教师的作用在哪里？ 教师在讲解这样一个例题（如图） 题目：P是ABC内一点,PEAB,PFBC, EPF = 60,求BMN +CNM.
