《2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第六节立体几何中的向量方法作业本理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第六节立体几何中的向量方法作业本理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第六节第六节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法A A 组组 基础题组基础题组1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且DAB=60.点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1)求证:ABEF;(2)若 PA=PD=AD,且平面 PAD平面 ABCD,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值.2.(2018 北京东城期中,17)在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,ABCD,ABAD,PA=AB,ABADCD=21.2(1)证明 BDPC;(2)求二面角 A-PC-D 的余弦值;(3)设点 Q 为线段 PD 上一
2、点,且直线 AQ 与平面 PAC 所成角的正弦值为,求的值.23 B B 组组 提升题组提升题组23.(2017 北京东城二模,17)如图,在几何体 ABCDEF 中,平面 ADE平面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,且DAB=60,EA=ED=AB=2EF,EFAB,M 为 BC 的中点.(1)求证:FM平面 BDE;(2)求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值;(3)在棱 CF 上是否存在点 G,使得 BGDE?若存在,求的值;若不存在,说明理由.CG CF4.(2017 北京东城一模,17)如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAB平面 ABC,APBP,ACBC,PAB=6
3、0,ABC=45,D 是 AB 的中点,E,F 分别为 PD,PC 的中点.(1)求证:AE平面 PCD;(2)求二面角 B-PA-C 的余弦值;(3)在棱 PB 上是否存在点 M,使得 CM平面 AEF?若存在,求的值;若不存在,说明理由.PM PB3答案精解精析答案精解精析A A 组组 基础题组基础题组1. 解析 (1)证明:因为底面 ABCD 是菱形,所以 ABCD.又因为 AB平面 PCD,CD平面 PCD,所以 AB平面 PCD.又因为 A,B,E,F 四点共面,且平面 ABEF平面 PCD=EF,所以 ABEF.(2)取 AD 的中点 G,连接 PG,GB.因为 PA=PD,所以
4、PGAD.又因为平面 PAD平面 ABCD,且平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PG平面 ABCD.所以 PGGB.在菱形 ABCD 中,因为 AB=AD,DAB=60,G 是 AD 中点,所以 ADGB.如图,建立空间直角坐标系 G-xyz,设 PA=PD=AD=2a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-2a,a,0),D(-a,0,0),P(0,0,a).333又 CDEF,点 E 是棱 PC 的中点,所以点 F 是棱 PD 的中点,E,F.(- ,32,32) (- 2,0,32)所以=,(-3 2,0,32)=.( 2, -32,0)设平面 AFE 的法向量为 n=(x
5、,y,z),则有所以 = 0, = 0.? = 3, =33.?令 x=3,则平面 AFE 的一个法向量为 n=(3,3).334易知 BG平面 PAD,所以=(0,a,0)是平面 PAF 的一个法向量.3因为 cos=,|339 31313所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为.13132. 解析 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz.设 AB=2,则有 B(2,0,0),D(0,0),P(0,0,2),C(1,0),A(0,0,0).22(1)证明:=(-2,0),=(1,-2),22=0,BDPC
6、.(2)=(1,0),=(0,0,2),2设平面 PAC 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则即令 x1=,得 y1=-1,所以平面 = 0, = 0,?1+ 21= 0,21= 0,?2PAC 的一个法向量为 m=(,-1,0).2=(0,-,2),=(1,-2),设平面 DPC 的法向量 n=(x2,y2,z2),则即22 = 0, = 0,?令 y2=-,得 z2=-1,x2=0,所以平面 DPC 的一个法向量为 n=(0,-,-1).-22+ 22= 0,2+ 22- 22= 0,?22cos=,|23二面角 A-PC-D 的余弦值为.23(3)设=t,t0,1,=+=+t,=(0
7、,0,2)+t(0,-2)=(0,t,2-2t),设 为直线 22AQ 与平面 PAC 所成的角,则 sin =|cos |=,|23=3t2=6t2-8t+4,解得 t=2(舍)或 .所以=t= .23 22+ (2 - 2)2232 3 2 35B B 组组 提升题组提升题组3. 解析 (1)证明:如图,取 CD 的中点 N,连接 MN、FN.因为 N,M 分别为 CD,BC 的中点,所以 MNBD.又 BD平面 BDE 且 MN 不在平面 BDE 内,所以 MN平面 BDE,因为四边形 ABCD 为菱形,所以 ABCD,又因为 EFAB,AB=2EF,所以 EFCD,EF=DN.所以四边
8、形 EFND 为平行四边形.所以 FNED.又 ED平面 BDE 且 FN 不在平面 BDE 内,所以 FN平面 BDE,又 N 为 FN 和 MN 的交点,所以平面 MFN平面 BDE.又 FM平面 MFN,所以 FM平面 BDE.(2)如图,取 AD 的中点 O,连接 EO,BO.因为 EA=ED,所以 EOAD.因为平面 ADE平面 ABCD,所以 EO平面 ABCD,EOBO.因为 AD=AB,DAB=60,所以三角形 ADB 为等边三角形.因为 O 为 AD 的中点,所以 ADBO.6EO,BO,AO 两两垂直,以 O 为原点,OA,OB,OE 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴
9、,建立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=4,则 A(2,0,0),B(0,2,0),C(-4,2,0),D(-2,0,0),E(0,0,2),F(-1,2),所以=(3,-33333,2),=(2,0,2),=(0,-2,2).33333设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z),则即 = 0, = 0,? - = 0, + 3 = 0.?令 z=1,则 y=1,x=-.3所以 n=(-,1,1).3设直线 CF 与平面 BDE 所成角为 ,则 sin =|cos|=,1010所以直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值为.1010(3)存在.设 G 是 CF 上一点,且=,0,1,因
10、此点 G(3-4,-+2,2),333=(3-4,-,2).33由=0,解得 = .4 9所以在棱 CF 上存在点 G,使得 BGDE,此时= . 4 94. 解析 (1)证明:在 RtABC 中,因为ABC=45,D 为 AB 的中点,所以 CDAB.又因为平面 PAB平面 ABC,且平面 PAB平面 ABC=AB,所以 CD平面 PAB.因为 AE平面 PAB,所以 CDAE.7因为 APBP,D 为 AB 的中点,所以 DP=AD,又PAB=60,所以PAD 为等边三角形,又 E 为 PD 的中点,所以 AEPD.因为 PDCD=D,所以 AE平面 PCD.(2)在PAB 中,取 AD
11、的中点 O,连接 PO,所以 POAB.在平面 ABC 中,过 O 作 CD 的平行线,交 AC 于 G.因为平面 PAB平面 ABC,所以 PO平面 ABC,所以 POOG,所以 OG,OB,OP 相互垂直,如图,建立空间直角坐标系 O-xyz.设 AB=4a,则 A(0,-a,0),B(0,3a,0),C(2a,a,0),P(0,0,a),D(0,a,0),所以=(2a,2a,0),=(0,-a,-3a).3设平面 PAC 的法向量 n=(x,y,z),则即 = 0, = 0,? + = 0, + 3 = 0.?令 z=1,则 y=-,x=.33所以 n=(,-,1).33平面 PAB 的
12、法向量=(2a,0,0),设 n 与的夹角为 ,8则 cos =,|217所以二面角 B-PA-C 的余弦值为.217(3)设 M 是棱 PB 上一点,则存在 0,1,使得=.则 M(0,3a,a(1-),=(-2a,a(3-1),a(1-).33由(1)知 CD平面 PAB,PD平面 PAB,所以 CDPD.因为 EFCD,所以 EFPD.又 AEPD,AEEF=E,所以 PD平面 AEF.所以为平面 AEF 的法向量.因为平面 AEF 的法向量=(0,a,-a),3所以=0,即 aa(3-1)-aa(1-)=0,33解得 = .2 3所以在棱 PB 上存在点 M,使得 CM平面 AEF,此时= . 2 3
