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1、 1 目目 录录 1 摘 要 . 11 摘 要 . 1 2 光波和物质波方程的算符代换形式 . 12 光波和物质波方程的算符代换形式 . 1 一、一次光波方程一、一次光波方程.2 二、二次光波方程二、二次光波方程.2 三、薛定谔方程三、薛定谔方程.2 四、克莱因四、克莱因-戈登方程戈登方程.2 五、狄拉克方程五、狄拉克方程.3 六、相对论近似方程六、相对论近似方程.3 3 克莱因-戈登方程. 43 克莱因-戈登方程. 4 4 狄拉克方程 . 54 狄拉克方程 . 5 第一步：建立相对论方程的条件第一步：建立相对论方程的条件.5 第二步：待定系数能量动量关系第二步：待定系数能量动量关系.6 第三
2、步：克朗内克第三步：克朗内克函数函数.7 第四步：泡利矩阵第四步：泡利矩阵.7 第五步：狄拉克矩阵第五步：狄拉克矩阵.7 第六步：自由粒子狄拉克方程第六步：自由粒子狄拉克方程.9 第七步：力场中的狄拉克方程第七步：力场中的狄拉克方程.9 第八步：狄拉克方程的代数形式第八步：狄拉克方程的代数形式.10 第九步：负能量预言正电子第九步：负能量预言正电子9 .12 5 相对论波动方程的四维时空表示. 135 相对论波动方程的四维时空表示. 13 6 讨 论 . 156 讨 论 . 15 克莱因-戈登方程和狄拉克方程 克莱因-戈登方程和狄拉克方程 量子力学基础问题研究(二) 量子力学基础问题研究(二)
3、 北京黄鹏辉 中山大学何纯挺、西安交大李伟校对 QQ及邮箱：，QQ群 69657010 1 摘 要 1 摘 要 本文首先采用源自薛定谔方程的能量、动量算符代换方法，列出了所有可能的光波和 物质波方程，其中“一次光波方程”和“相对论近似方程”可能是作者第一次提出，作者 期望它们能有一些实际应用价值；而能量、动量算符的正负号成对出现，则是本文的重要 特色之一。本文首先采用源自薛定谔方程的能量、动量算符代换方法，列出了所有可能的光波和 物质波方程，其中“一次光波方程”和“相对论近似方程”可能是作者第一次提出，作者 期望它们能有一些实际应用价值；而能量、动量算符的正负号成对出现，则是本文的重要 特色之
4、一。 然后介绍了克莱因-戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程，其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系、并建立狄拉克方程的过程，以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路。然后介绍了克莱因-戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程，其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系、并建立狄拉克方程的过程，以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路。 最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式，这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式。最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式，这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式。 2 光波和物质波方程的
5、算符代换形式 光波和物质波方程的算符代换形式 为了统一描述光波方程和物质波方程， 这里首先引入两个最基本的算符： 能量算符E、 动量算符及其分量算符(,， p, xyzxyzpppppp)it = ?E i ?p= ix ?=x xp p iy ?yp = iz ?zp = (2.1) 然后对于任何一种可能得到的能量动量关系，用E代换能量E，用代换动量，或 者用(,代换动量分量(, pp, xyzxyzpppppp) , )xyzppp。这种算符代换方法可以很快得到如下方程： 2 一、一次光波方程一、一次光波方程 光子的能量动量关系为Epc=，可以写成/E cp=，进行算符代换，就得到第一个光
6、 波方程，（这里是否适用于麦克斯韦方程组的电场强度或磁场强度，还是个问题） EB1 c t= (2.2) 这个方程在以前的光学或电磁学中没有介绍过，暂且称之为“一次光波方程” 。 利用 波函数公式sin()Atkr=+c和关系式/k=，可以验证，(2.2)式是成立的。也 就是说，至少sin()Atkr=+是(2.2)式的一个解。 此方程的物理意义还有待于探索，作者在这里先提出三种猜测思路： 第一，现在有一种观点认为，由一次能量动量关系得到的如薛定谔方程和狄拉克方程， 是描述单个粒子行为的；而由二次能量动量关系得到的如“二次光波方程”和克莱因-戈登 方程是描述某种场的，是场方程16。如果从这个角
7、度理解， “一次光波方程”就有可能是 描述单个粒子行为的。如果考虑到每一个波动方程其实都代表着一种粒子存在，即使是声 波方程，现在也创造了一个声子模型（这一点极富启发性） 。那么， “一次光波方程”描述 某种新的粒子就是很有可能的。至于它描述的究竟是哪种粒子，则有待于探索。 第二，这种粒子也有可能就是中微子。现在，有两个方程被看作是中微子波动方程的 候选者1：一个是静止质量00m =的狄拉克方程；另一个是 Weyl 方程。或许“一次光波方程”也可以作为一个不错的候选者。 第三，这个方程也有可能描述的是光或电磁波某种新的状态。 当然，这些观点都只是猜测，具体情况还有待于理论的深入探讨和实验的验证
8、。 二、二次光波方程二、二次光波方程 光子的能量动量关系写成平方形式，222/Ecp=，再进行算符代换，就得到第二个光 波方程。这个方程就是以前经典物理中介绍的标准波动方程，即亥姆霍兹方程，它是麦克 斯韦方程组的核心方程，也叫做光学标准波动方程。或许称之为“二次光波方程”更合理。 （其中的可以是麦克斯韦方程组中的两个波函数，电场强度E或磁场强度B） 2 2 221 ct= 或写成 2 2 2210ct= (2.3) 三、薛定谔方程三、薛定谔方程 自由粒子的非相对论能量动量关系为22pEm=，哈密顿算符为2 2 2=m?H，算符代换得到自由粒子薛定谔方程： 2 22tmi= ? (2.4) 如果
9、用能量算符E和哈密顿算符表示，这种形式称为量子力学标准波动方程 H= HE (2.5) 力场中粒子的能量动量关系为22pEmV=+，对应的哈密顿算符为2 2 2=Vm +?（）H，因此，力场中的一般薛定谔方程（含时薛定谔方程）为： 2 2(2Vtmi)= +? (2.6) 四、克莱因四、克莱因-戈登方程戈登方程 3 由相对论的质能公式2222 01v /cEmcm c=和动量公式22 01v /vv/cpmm=， 可以得到自由粒子的相对论能量动量关系 2222 04Ep cm c=+ (2.7) 算符代换就得到克莱因-戈登方程 222 20 2221(m c ct)= ?(2.8) 五、狄拉克
10、方程五、狄拉克方程 薛定谔方程中的哈密顿算符换成2 0(cm c)=+iHa p，就得到相对论自由粒子狄拉克方程 2 0)(cm c =+iEa p (2.9) 其中和123( , , )a a aa是4 4的狄拉克矩阵。哈密顿算符中再加入势能项V，就得到力场中的狄拉克方程 2 0)(cm cV=+iEa p (2.10) 六、相对论近似方程六、相对论近似方程 当m不是正整数时，二项式 可在 mx)1 ( +( 1 , 1)x 区间内展开为无穷级数 2(1)(1)(2)(1)(1)12!mnm mm mmmnxmxxxn+= +? (2.11) 当 且 时，由(2.11)式可以得到， 1/2m = (0, 1)x2323111 31 3 51351122 42 4 628161xxxxxxx = +
