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1、 1 目目 录录 1 摘 要 . 11 摘 要 . 1 2 光波和物质波方程的算符代换形式 . 12 光波和物质波方程的算符代换形式 . 1 一、一次光波方程一、一次光波方程.2 二、二次光波方程二、二次光波方程.2 三、薛定谔方程三、薛定谔方程.2 四、克莱因四、克莱因-戈登方程戈登方程.2 五、狄拉克方程五、狄拉克方程.3 六、相对论近似方程六、相对论近似方程.3 3 克莱因-戈登方程. 43 克莱因-戈登方程. 4 4 狄拉克方程 . 54 狄拉克方程 . 5 第一步:建立相对论方程的条件第一步:建立相对论方程的条件.5 第二步:待定系数能量动量关系第二步:待定系数能量动量关系.6 第三
2、步:克朗内克第三步:克朗内克函数函数.7 第四步:泡利矩阵第四步:泡利矩阵.7 第五步:狄拉克矩阵第五步:狄拉克矩阵.7 第六步:自由粒子狄拉克方程第六步:自由粒子狄拉克方程.9 第七步:力场中的狄拉克方程第七步:力场中的狄拉克方程.9 第八步:狄拉克方程的代数形式第八步:狄拉克方程的代数形式.10 第九步:负能量预言正电子第九步:负能量预言正电子9 .12 5 相对论波动方程的四维时空表示. 135 相对论波动方程的四维时空表示. 13 6 讨 论 . 156 讨 论 . 15 克莱因-戈登方程和狄拉克方程 克莱因-戈登方程和狄拉克方程 量子力学基础问题研究(二) 量子力学基础问题研究(二)
3、 北京黄鹏辉 中山大学何纯挺、西安交大李伟校对 QQ及邮箱:,QQ群 69657010 1 摘 要 1 摘 要 本文首先采用源自薛定谔方程的能量、动量算符代换方法,列出了所有可能的光波和 物质波方程,其中“一次光波方程”和“相对论近似方程”可能是作者第一次提出,作者 期望它们能有一些实际应用价值;而能量、动量算符的正负号成对出现,则是本文的重要 特色之一。本文首先采用源自薛定谔方程的能量、动量算符代换方法,列出了所有可能的光波和 物质波方程,其中“一次光波方程”和“相对论近似方程”可能是作者第一次提出,作者 期望它们能有一些实际应用价值;而能量、动量算符的正负号成对出现,则是本文的重要 特色之
4、一。 然后介绍了克莱因-戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程,其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系、并建立狄拉克方程的过程,以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路。然后介绍了克莱因-戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程,其 中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系、并建立狄拉克方程的过程,以及 狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路。 最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式,这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式。最后介绍了相对论波动方程的四维 时空表示形式,这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式。 2 光波和物质波方程的
5、算符代换形式 光波和物质波方程的算符代换形式 为了统一描述光波方程和物质波方程, 这里首先引入两个最基本的算符: 能量算符E、 动量算符及其分量算符(,, p, xyzxyzpppppp)it = ?E i ?p= ix ?=x xp p iy ?yp = iz ?zp = (2.1) 然后对于任何一种可能得到的能量动量关系,用E代换能量E,用代换动量,或 者用(,代换动量分量(, pp, xyzxyzpppppp) , )xyzppp。这种算符代换方法可以很快得到如下方程: 2 一、一次光波方程一、一次光波方程 光子的能量动量关系为Epc=,可以写成/E cp=,进行算符代换,就得到第一个光
6、 波方程,(这里是否适用于麦克斯韦方程组的电场强度或磁场强度,还是个问题) EB1 c t= (2.2) 这个方程在以前的光学或电磁学中没有介绍过,暂且称之为“一次光波方程” 。 利用 波函数公式sin()Atkr=+c和关系式/k=,可以验证,(2.2)式是成立的。也 就是说,至少sin()Atkr=+是(2.2)式的一个解。 此方程的物理意义还有待于探索,作者在这里先提出三种猜测思路: 第一,现在有一种观点认为,由一次能量动量关系得到的如薛定谔方程和狄拉克方程, 是描述单个粒子行为的;而由二次能量动量关系得到的如“二次光波方程”和克莱因-戈登 方程是描述某种场的,是场方程16。如果从这个角
7、度理解, “一次光波方程”就有可能是 描述单个粒子行为的。如果考虑到每一个波动方程其实都代表着一种粒子存在,即使是声 波方程,现在也创造了一个声子模型(这一点极富启发性) 。那么, “一次光波方程”描述 某种新的粒子就是很有可能的。至于它描述的究竟是哪种粒子,则有待于探索。 第二,这种粒子也有可能就是中微子。现在,有两个方程被看作是中微子波动方程的 候选者1:一个是静止质量00m =的狄拉克方程;另一个是 Weyl 方程。或许“一次光波方程”也可以作为一个不错的候选者。 第三,这个方程也有可能描述的是光或电磁波某种新的状态。 当然,这些观点都只是猜测,具体情况还有待于理论的深入探讨和实验的验证
8、。 二、二次光波方程二、二次光波方程 光子的能量动量关系写成平方形式,222/Ecp=,再进行算符代换,就得到第二个光 波方程。这个方程就是以前经典物理中介绍的标准波动方程,即亥姆霍兹方程,它是麦克 斯韦方程组的核心方程,也叫做光学标准波动方程。或许称之为“二次光波方程”更合理。 (其中的可以是麦克斯韦方程组中的两个波函数,电场强度E或磁场强度B) 2 2 221 ct= 或写成 2 2 2210ct= (2.3) 三、薛定谔方程三、薛定谔方程 自由粒子的非相对论能量动量关系为22pEm=,哈密顿算符为2 2 2=m?H,算符代换得到自由粒子薛定谔方程: 2 22tmi= ? (2.4) 如果
9、用能量算符E和哈密顿算符表示,这种形式称为量子力学标准波动方程 H= HE (2.5) 力场中粒子的能量动量关系为22pEmV=+,对应的哈密顿算符为2 2 2=Vm +?()H,因此,力场中的一般薛定谔方程(含时薛定谔方程)为: 2 2(2Vtmi)= +? (2.6) 四、克莱因四、克莱因-戈登方程戈登方程 3 由相对论的质能公式2222 01v /cEmcm c=和动量公式22 01v /vv/cpmm=, 可以得到自由粒子的相对论能量动量关系 2222 04Ep cm c=+ (2.7) 算符代换就得到克莱因-戈登方程 222 20 2221(m c ct)= ?(2.8) 五、狄拉克
10、方程五、狄拉克方程 薛定谔方程中的哈密顿算符换成2 0(cm c)=+iHa p,就得到相对论自由粒子狄拉克方程 2 0)(cm c =+iEa p (2.9) 其中和123( , , )a a aa是4 4的狄拉克矩阵。哈密顿算符中再加入势能项V,就得到力场中的狄拉克方程 2 0)(cm cV=+iEa p (2.10) 六、相对论近似方程六、相对论近似方程 当m不是正整数时,二项式 可在 mx)1 ( +( 1 , 1)x 区间内展开为无穷级数 2(1)(1)(2)(1)(1)12!mnm mm mmmnxmxxxn+= +? (2.11) 当 且 时,由(2.11)式可以得到, 1/2m = (0, 1)x2323111 31 3 51351122 42 4 628161xxxxxxx = +