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1、中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等） .基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多 的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有 直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或 成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图 形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识
2、别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决 有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能 力.1已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）求证：EG=CG； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不
3、成立，请说明理由； （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ 通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG （2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点；再证明DAGDCG，得 出 AG=CG；再证出DMGFNG，得到 MG=NG；再证明AMGENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG （3）结论依然成立还知道
4、EGCG 解答：（1）证明：在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点，CG= FD，同理，在 RtDEF 中，EG= FD，CG=EG（2）解：（1）中结论仍然成立，即 EG=CG 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点 在DAG 与DCG 中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG， AG=CG； 在DMG 与FNG 中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG， MG=NG； 在矩形 AENM 中，AM=EN， 在AMG 与ENG 中， AM=EN，AMG=ENG，MG=NG， AMGENG， AG=EG，
5、EG=CG 证法二：延长 CG 至 M，使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC， 在DCG 与FMG 中， FG=DG，MGF=CGD，MG=CG， DCGFMG MF=CD，FMG=DCG， MFCDAB， EFMF 在 RtMFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE， MFECBE MEF=CEB MEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90， MEC 为直角三角形 MG=CG，EG= MC，EG=CG（3）解：（1）中的结论仍然成立 即 EG=CG其他的结论还有：EGCG点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质2 （1）如图 1，已知
6、矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 于点 G，CHBD 于点 H，试证明 CH=EF+EG；（2）若点 E 在 BC 的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点 G，CHBD 于点 H， 则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线，L 在 BD 上，且 BL=BC，连接 CL，点 E 是 CL 上任一点，EFBD 于点 F，EGBC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图
7、1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF、EG、CH 这样的线段， 并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）要证明 CH=EF+EG，首先要想到能否把线段 CH 分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线， 若作 CENH 于 N，可得矩形 EFHN，很明显只需证明 EG=CN，最后根据 AAS 可求证EGCCNE 得出结论 （2）过 C 点作 COEF 于 O，可得矩形 HCOF，因为 HC=DO，所以只需证明 EO=EG，最后根据
8、 AAS 可求证 COECGE 得出猜想 （3）连接 AC，过 E 作 EG 作 EHAC 于 H，交 BD 于 O，可得矩形 FOHE，很明显只需证明 EG=CH，最后根据 AAS 可求证CHEEGC 得出猜想 （4）点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过 C 作 CEPF 于 E，可得矩形 GCEF，而且 AAS 可求证CEPCNP，故 CG=PFPN解答：（1）证明：过 E 点作 ENGH 于 N（1 分） EFBD，CHBD， 四边形 EFHN 是矩形 EF=NH，FHEN DBC=NEC 四边形 ABCD 是
9、矩形， AC=BD，且互相平分 DBC=ACB NEC=ACB EGAC，ENCH， EGC=CNE=90， 又 EC=EC， EGCCNE （3 分） EG=CN CH=CN+NH=EG+EF（4 分）（2）解：猜想 CH=EFEG（5 分）（3）解：EF+EG= BD（6 分）（4）解：点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图，有 CG=PFPN注：图（1 分） （画一个图即可） ，题设的条件和结论（1 分）点评：此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明3如图 1，点 P 是
10、线段 MN 的中点 （1）请你利用该图 1 画一对以点 P 为对称中心的全等三角形； （2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图 2，在 RtABC 中，BAC=90，ABAC，点 D 是 BC 边中点，过 D 作射线交 AB 于 E，交 CA 延长线于 F，请猜想F 等于多少度时，BE=CF（直接写出结果，不必证明） ； 如图 3，在ABC 中，如果BAC 不是直角，而（1）中的其他条件不变，若 BE=CF 的结论仍然成立，请写出 AEF 必须满足的条件，并加以证明考点：作图复杂作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。 专题：证明题；开放型。 分析：（1）以 P 点为中心，
11、依次做两条相互交叉但长度相等的线段，可得两个全等三角形； （2）当 BE=CF 时，F 的结论成立；第 2 小题需要用到辅助线的帮助延长 FD 到点 G，使得 FD=GD，连接 BG，证明DCFDBG 后推出F=G，CF=BG，从而证明 BE=CF 解答：解：（1）如图：画图正确（2 分）（2）F=45时，BE=CF （2 分） 答：若 BE=CF 的结论仍然成立， 则 AE=AF，AEF 是等腰三角形 （1 分） 证明：延长 FD 到点 G，使得 FD=GD，连接 BG 点 D 是 BC 边中点，DC=DB在DCF 和DBG 中DCFDBG （2 分） F=G，CF=BG（1 分） 当AEF
12、 是等腰三角形，AE=AF 时， F=2， 1=2， 1=G BE=BG BE=CF （2 分）点评：本题涉及全等三角形，等腰梯形的相关性质和判定，并考查学生的作图能力，为综合题型，难度中上4如图，OP 是AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这 个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于 点 F请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得
13、结论是否 仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由考点：全等三角形的判定与性质。 专题：探究型。 分析：根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用 AAS 来判定其全等了 先利用 SAS 来判定AEFAGF得出AFE=AFG，FE=FG再利用 ASA 来判定CFGCFD 得到 FG=FD 所 以 FE=FD 解答：解：在 OP 上任找一点 E，过 E 分别做 CEOA 于 C，EDOB 于 D如图， （1）结论为 EF=FD如图，在 AC 上截取 AG=AE，连接 FG AD 是BAC 的平分线， 1=2，在AEF 与AGF 中，AEFAGF（SAS） AFE=AFG，F
14、E=FG 由B=60，AD，CE 分别是BAC，BCA 的平分线， 22+23+B=180， 2+3=60 又AFE 为AFC 的外角， AFE=CFD=AFG=2+3=60 CFG=60 即GFC=DFC，在CFG 与CFD 中，CFGCFD（ASA） FG=FD FE=FD（2）EF=FD 仍然成立 如图， 过点 F 分别作 FGAB 于点 G，FHBC 于点 H FGE=FHD=90， B=60，且 AD，CE 分别是BAC，BCA 的平分线， 2+3=60，F 是ABC 的内心 GEF=BAC+3=60+1， F 是ABC 的内心，即 F 在ABC 的角平分线上， FG=FH（角平分线
15、上的点到角的两边相等） 又HDF=B+1（外角的性质） ， GEF=HDF在EGF 与DHF 中，EGFDHF（AAS） ， FE=FD点评：此题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有 SSS，SAS，AAS，HL 等5如图，已知矩形 ABCD，AB=，BC=3，在 BC 上取两点 E、F（E 在 F 左边） ，以 EF 为边作等边三角形 PEF，使顶点 P 在 AD 上，PE、PF 分别交 AC 于点 G、H （1）求PEF 的边长； （2）若PEF 的边 EF 在线段 BC 上移动试猜想：PH 与 BE 有什么数量关系？并证明你猜想的结论考点：矩形的性质；等边三角形的性质。 专题：探究型。 分析：（1）要求PEF 的边长，需构造直角三角形，那么就过 P 作 PQBC 于 Q利用PFQ 的正弦值可求出 PF，即PEF 的边长；（2）猜想：PHBE=1利用ACB 的正切值可求出
