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1、1巴罗，萨拉伊马丁， 经济增长 ，中国社会科学出版社，2000 年 龚六堂， 经济学中的优化方法 ，北京大学出版社，2000Handout 1. The uses of logarithms the natural constant et tryy)1(0 nt tnryy)1(0 rtrtmmteymyynrm00)11(lim natural logarithmsxx tftfxdtdtfxttdtdzxzxzxzxxxxz )()()(ln)(1)(lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnGrowth rate:PdP YdYPYPYdYdY PdP PYPYd )()(XX ZZXZt
2、t point elasticities)(ln)(ln)(LdxdELfxxL 22.discounting and power series.If then1xxxxxii 111203.moments of functions of random variables Suppose that x is a random variable, with meanand variance .2bxaythen the mean of y is and the variance of y is . If the ba22brelationship is nonlinear, )()()()(fx
3、EfxfEyEInstead, 0),()( fxEfxfE0),()( fxEfxfEcovariance decomposition ),cov()()()(yxyExExyE4.Optimization in Economics a)微分方程的解及其稳定性微分方程的解及其稳定性 i.线性微分方程组线性微分方程组 考虑线性微分方程组考虑线性微分方程组 )()()()()()(22211211 tyatxatytyatxatx 记上面方程组的系数矩阵为记上面方程组的系数矩阵为3 22211211 aaaaA假设它的两个特征根为实根，那么，假设它的两个特征根为实根，那么，21122211212
4、21121 aaaarraarr微分方程组的解在两个特征根不相等时为：微分方程组的解在两个特征根不相等时为： trtreAeAtx21 21)(trtreAaareAaarty21 2 12112 1 12111)(微分方程组的解在两个特征根相等时为微分方程组的解在两个特征根相等时为tretAAtx2)()(21tretAAaarty2)()(21 12111其中其中 A1和和 A2为待定常数，它们由初始条件决定。为待定常数，它们由初始条件决定。 稳定性定义稳定性定义叫做微分系统的均衡点，如果在该点满足叫做微分系统的均衡点，如果在该点满足*)*,(yx0*)*,(*)*,(yxyxyx均衡点均
5、衡点叫做渐进稳定的，如果从任意的初始点出发，系统的解满足叫做渐进稳定的，如果从任意的初始点出发，系统的解满足*)*,(yx*)*,()(),(limyxtytx t 4均衡点均衡点叫做叫做鞍点稳定鞍点稳定的，如果存在初始点（的，如果存在初始点（x(0)，y(0)） ，从它出发系统，从它出发系统*)*,(yx的解满足的解满足 *)*,()(),(limyxtytx t 判断均衡点的稳定性判断均衡点的稳定性 对于特征根为实根的情形，对于特征根为实根的情形，当当，均衡点是不稳定的；，均衡点是不稳定的；0,21rr当当，均衡点是稳定的；，均衡点是稳定的；0,21rr当当中一个为正，另一个为负，均衡点是
6、鞍点稳定的。中一个为正，另一个为负，均衡点是鞍点稳定的。21,rr非线性微分方程组解的稳定性非线性微分方程组解的稳定性 对于非线性系统，我们首先需要在其均衡点进行一阶对于非线性系统，我们首先需要在其均衡点进行一阶 Taylor 展开将其转换为线性展开将其转换为线性 系统，然后讨论其解的稳定性。系统，然后讨论其解的稳定性。 )(),()()(),()(22tyatxgtytytxftx *)(*)*,(*)(*)*,()(yyyyxfxxxyxftx*)(*)*,(*)(*)*,()(yyyyxgxxxyxgtyb)非线性规划非线性规划 无约束规划无约束规划问题：问题：)(min(max)xf
7、Cx若若 x*为它的局部极小值点，则为它的局部极小值点，则0*)(xfT等式约束规划等式约束规划问题：问题：)(min(max)xf Cx受约束于受约束于mixgi, 1, 0)(5定义定义 Lagrange 函数函数 miiixgxfxL1)()(),(若若 x*为问题的解，则存在为问题的解，则存在 Lagrange 乘子乘子满足满足)*,*(*1m0*)*,(xLx0*)*,(xLnjxxg xxfmiji i j, 1, 0*)(*)(1 记记),(max)(yxfbV受约束于受约束于byxg),(其中其中 b 为参数。那么可以证明为参数。那么可以证明。也就是。也就是 Lagrange
8、乘子的经济含乘子的经济含)(bVgfxx义义为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值会增加多少。有时也把为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值会增加多少。有时也把 Lagrange 乘子称作影子价格。乘子称作影子价格。 一般规划问题一般规划问题问题：问题：)(min(max)xf Cx受约束于受约束于mixgi, 1, 0)(pjxhj, 1, 0)(。npm,定义定义 Lagrange 函数函数 pjjjmiiixhxgxfxL11)()()(),(若若 x*为问题的解，则存在为问题的解，则存在 Lagrange 乘子乘子，0)*,*(*1m满足满足)*,*(*1m一阶条件一阶条件njxx
9、h xxg xxfpkjk kmiji i j, 1, 0*)(*)(*)(11 松弛条件松弛条件6mixgxgiiii, 1, 0*)(, 0*)(*, 0*根据一阶条件和松弛条件求解。根据一阶条件和松弛条件求解。 Lagrange 乘子的经济含义乘子的经济含义为当系统的限制参数变化一个单位时，系统的最优值的为当系统的限制参数变化一个单位时，系统的最优值的 改变量。改变量。 凸规划凸规划问题：问题：)(min(max)xf Cx其中其中 f(x)为正常凸函数。受约束于为正常凸函数。受约束于mixgi, 1, 0)(pjxhj, 1, 0)(。npm,定义定义 Lagrange 函数函数 pj
10、jjmiiixhxgxfxL11)()()(),(若若 x*为问题的解，则存在为问题的解，则存在 Lagrange 乘子乘子，0)*,*(*1m满足满足)*,*(*1m一阶条件一阶条件njxxh xxg xxfpkjk kmiji i j, 1, 0*)(*)(*)(11 松弛条件松弛条件mixgxgiiii, 1, 0*)(, 0*)(*, 0*根据一阶条件和松弛条件求解。根据一阶条件和松弛条件求解。若在约束条件中增加变量若在约束条件中增加变量。若。若 x*为问题的解，则存在为问题的解，则存在 Lagrange 乘子乘子0ix，满足满足0)*,*(*1m)*,*(*1m一阶条件一阶条件njx
11、xxh xxg xxf jpkjk kmiji i j, 1, 0*)(*)(*)(11 njxxxh xxg xxf jpkjk kmiji i j, 1, 0*, 0*)(*)(*)(11 松弛条件松弛条件mixgxgiiii, 1, 0*)(, 0*)(*, 0*7根据一阶条件和松弛条件求解。根据一阶条件和松弛条件求解。 Lagrange 乘子的经济含义乘子的经济含义为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值的变化量。为当系统参数变化一个单位时，系统的最优值的变化量。c)变分法变分法 固定边界问题固定边界问题问题：问题：10)(),(,(max(min)ttdttxtxtF受约束于受约束于
12、，00)(xtx11)(xtx如果如果为问题的解，则为问题的解，则满足满足,: )(*10ttttx,: )(*10ttttx1 Euler 方程方程dttxtxtdFtxtxtFx x)(*),(*,()(*),(*,(2 边值条件边值条件，00)(xtx11)(xtx3 二阶条件二阶条件(min), 0)(*),(*,(txtxtFxx(max), 0)(*),(*,(txtxtFxx根据以上条件求解。根据以上条件求解。 注意注意，当函数，当函数 F 具有特殊形式时，具有特殊形式时，Euler 方程会变成很简单的形式：方程会变成很简单的形式：a.如果函数如果函数 F 不显含变量不显含变量
13、x，即，即；Euler 方程为：方程为：),(xtFtconsFxtanb.如果函数如果函数 F 不显含时间变量，不显含时间变量，Euler 方程为：方程为：tconstxtxtFxtxtxtFxtan)(*),(*,(*)(*),(*,(c.如果函数如果函数 F 不显含变量不显含变量 x 和时间变量，和时间变量，Euler 方程为：方程为：0)(*),(*,(txtxtFxxx d.如果函数如果函数 F 不显含变量不显含变量x，即，即；Euler 方程为定积分问题。方程为定积分问题。x ),( xtF自由边界问题自由边界问题问题：问题：10)(),(,(max(min)ttdttxtxtF在
14、初始点和终点受约束于下面三种情形：在初始点和终点受约束于下面三种情形： a.t0，x0，t1给定，给定，x1自由；自由； b.t0，x1，t1给定，给定，x0自由；自由； c.t0， t1给定，给定，x0，x1自由；自由；，00)(xtx11)(xtx8如果如果为问题的解，则为问题的解，则满足满足,: )(*10ttttx,: )(*10ttttx1 Euler 方程方程dttxtxtdFtxtxtFx x)(*),(*,()(*),(*,(2 对应于三种不同的初始条件和终点条件的边值条件和横截性条件分别为；对应于三种不同的初始条件和终点条件的边值条件和横截性条件分别为；a. ,00)(xtx0)(*),(*,( 1txtxtxtFb. ,11)(xtx0)(*),(*,( 0txtxtxtFc. ，0)(*),(*,( 1txtxtxtF0)(*),(*,( 0txtxtxtF3 二阶条件二阶条件(min), 0)(*),(*,(txtxtFxx(max), 0)(*),(*,(txtxtFxx根据以上条件求解。根据以上条
