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1、湖南大学硕士学位论文几类离散神经网络模型解的渐近性与周期性姓名：宾红华申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：黄立宏2002.3.1摘要y5 1 4 3 9 7本文主要讨i 仑g t T 四类离散神经网络模型解的渐近性与周期性z 。+ l 一, I x + f ( x 。) ，”一1 ，2 ，；z 一l k 一f ( x 。) ，r L 一1 ，2 ，；f z 。+ l = = 妇- t - f ( ，。) ，I y 。+ 一, l y + ，( 嚣) ，( 1 )( 2 )( 3 ) T n + I 一妇一+ ，( “) ，n ；1 ，2 ，。( 4 )”= l ，Z 、4 ， l Y 。
2、+ 1 一 弘一- ，( z 。) ，这几类模型中的信号传输函数f 均为f 1 ，“E ，6 ， 厂“一1 0 ，。6i 口，6 ，【，“6L 口，6 J ，其中d ，b E R ，A E ( o ，1 ) 是给定常数。第一章主要概述了问题产生的历史背景和本文的主要工作。在第二章我们讨论了模型( 1 ) 与( 2 ) 。对方程( 1 ) ，我们的结论是，当6 o 或d # j 时，方程均具有唯一的全局吸引子；b EE b 二，砖) 或b E B = ，B ：) 时，( 砖和B 砉的定义见论文) ，方程存在周期解，其最小正周期为m + 1 ；在d ，b 取其他值时，力程( 1 ) 的解是收敛的。
3、对方程( 2 ) ，我们有：当6 o时，方程均具有唯一的全局吸引子；当n ( n = ，口： 或口( A 二，A ： 时( n 吉和A 吉的定义见论文) ，方程( 2 ) 存在周期解，具最小正周期为m + 1 ；在其他状态下。方程( 2 ) 的解是收敛的。第三章讨论了模型( 3 ) 。当6 o 或口 南时，方程( 3 ) 有唯一的全局吸引子；当n o 时，方程( 4 ) 均具有唯一的全局吸引子；当 j 南；t h e r ei st h ep e r i o d i cs o l u t i o nw h o s em i n i m a lp o s i t i V ep e r i o d
4、i sm + 1 w h e nb E 6 二，6 ：) o r6 B 二，B + ) ( t h ed e f i n i t i o n so f 砖a n dB 言a r ei st h i sp a p e r ) ；a n dw h e na iba r et h eo t h e rv a l u e s ，t h es o l u t i o no f ( 1 ) i sc o n v e r g e n t F o re q u a t i o n ( 2 ) ，w eh a v ec o n c l u s i o n st h a tt h e e q u a t i o
5、nh a sa nu n i q u eg l o b a la t t r a c t o rw h e n6 一i 与e q u a t i o n ( 3 ) h a so n l yo n eg l o b a la t t r a c t o r I ft h ei n i t i a lv a l u ei s ( z 。，y o ) ( 6 ，站+ 1 ( 6 ，柏+ 1 。r ( x o , y o ) E ( b ，鲁 f 6 ，鲁 ，t h e nt h ep e r i 。d i cs 。l u t i o ne x i s t sw h e n4 o W h i l e
6、 一南白 O 是给定常数，r l ，r 2 O ，信号函数，具有如下M c C u l l o c h P i t t s 非线性情形 一1 一腓卜 p ，e 。，这里n ，6 ，一R ，a = i b ，得到了在不同闭值条件下，模型解收敛和周期解存在唯一性等一系列结果。文C 3 5 - 4 0 对上述部分结果进行了推广，并得到了一些新的结果。相对于微分方程神经网络模型的研究，离散型神经网络模型的研究结果要少得多，特别是，对具不连续型信号传输函数的离散神经网络模型的研究，结果更少，见文 4 4 4 8 3 及其所列参考文献。最近。袁朝晖、黄立宏等人讨论了系统j + T 。8 。+ “一8 ，舅
7、) ( E ) 【y 。+ 。一a y 。+ ( 1 一口) ，( z 。) ，其中信号函数满足，( “) 一 l1 “d ，这里n ( o ，1 ) 是给定常数，口R 是阈值，得到了系统( E ) 存在周期解以及解的收敛性等系列结论。三本文的主要工作本文在 4 4 的基础上，讨论了几类离散神经网络模型解的渐近性和周期性，我们这里所讨论的信号传输函数为，( ”净【。l , ，u “e s k a , ，b l ，, b J【O ，“Sf 口，C t ，b R 。本文讨论的离散模型如下：z 。+ 1 = 妇。+ 厂( z 。)J T 。+ l = 妇。f ( x Df z 。+ I = 如。+
8、f ( Y 。)l Y 。+ l = a y + f ( x 。)和, v T n 4 - t5 舡一十，( “) ，i Y n l = 柚，( 矗) ，n21 ，2 ，；“ = 1 ，2 ，；n 一1 ，2 ，；第二章具不连续自反馈的离散单神经元 模型解的渐近性与周期性本章考虑离散型单神经元模型z 。+ 1 一址。+ f ( x ) ，n 一1 ，2 ，( 2 0 1 )和z 。+ 1 = 心。一f ( x ) ，n 一1 ，2 ，( 2 0 2 )的解的性质。这里A ( o ，1 ) ，对常数日E R ，b E R ，f 满足m ，一髓0 卷b 6 ；仫o 。， 【，“6l 口，1 为讨论
9、方便，我们令N 表示非负整数集，对m ，, E N ，m ”，记N ( m ) 一 m ，m + 1 ，) ，( m ，n ) 一 ，+ 1 ，n ) 令R l 一 z ；zE ( 一，d ) ) ，R z 一 z ；zE ，b 3 ，R 3 一 2 ；zE ( 6 ，+ o 。) ) ，R R 1UR 2UR 。显然，给出初始值z 。R ，方程( 2 0 1 ) 、( 2 0 2 ) 有唯一解 z 。 。本章讨论当n o c 时，方程( 2 0 1 ) 和( 2 0 2 ) 的解 z 。 的渐近性和周期性。2 1 模型工。+ 。一A 工。+ ，( z 。) 解的渐近性与周期性在这一节我们讨论
10、模型( 2 o 1 ) 的解( z 。 的渐近性与周期性。2 1 1 主要结果定理2 1 1 若6 o ，则z 。一o ，当n o o 定理2 1 1 表明，当6 O 时，唯一稳定点0 是方程( 2 0 1 ) 的全局吸引子。定理2 1 2 若n f j ，则z 一一o ，当n 一定理2 1 3 表明，当口 南时，唯一稳定点0 是方程( 2 0 1 ) 的全局吸引子。定理2 1 4 若n = o ，# j 6 ，则( 1 ) 如果z o R l ，有z 一o ( ”) ；( 2 ) 如果z 。E R ：U R 。，有z 一南( n o o )定理2 1 4 表明，方程( 2 1 1 ) 有两个
11、稳定点o ，F 1 j 。定理2 1 5 若o 贴，有z 。一。或南( n 一。)定理2 1 6 若n o ，从而必存在M m 2 , 使n ( m ) 时，有z 6 R 3 ，这与z 。告Ra ，“ E N ，矛盾。因此，对z 。R ，总存在数m N ，使得z 。R 。，1 1 ( ) 。再由( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 得l i m x 一0 定理2 1 2 的证明若z 。E R z ，由z ，= A 。z 。+ 三等，”E N ，有一l i m 。x , = r b 若z 。R u 飓，由口 # j ，由( 2 1 3 ) 或( 2 】4 ) ，存在m E N ，使z 。E
12、R ，”6 N ( m ) ，从而有! 受z 。一o 定理2 1 4 的证明若z 。E R ，因为n o ，6 暑j ，由( 2 1 4 ) ，有! 受z ，一。若f o E R 3 ，由( 2 1 4 ) ，存在数m EN ，使z 。R ：，n N ( m ) 即，对T 。ER 2 U R3 ，有z E R ：，”E N ( m ) 依( 2 1 3 ) ，我们有! 鲤。一芒i定理2 1 5 的证明因为o 胁，则存在mz E N ，使z 。：E R ，或z E R ：，从而z 。一。或z 一暑j ( ”一) 为证明定理2 1 6 ，我们先建立一个引理。引理2 1 1 若口 b ，那么! 哩z
13、 。一。或! 受一F 1 j定理2 2 6 若一r 与 6 ，从而必存在M O ，使”( M ) 时，有z 6 ，这与z 。每R s ，n N ，i ，矛盾。因此，对z 。E R ，总存在数m E N ，使得z E R 3 ，n E N ( m ) ，再由( ? 2 6 ) 得l i m x 一= 0 定理2 2 2 的证明若z 。E R ：，因为n 一r b b ，则存在m2 6 N ，使mz E R s 或- 2 7 m 2 E R z ，从而有z 一一。或z 一一高( n O O ) 为证明定理2 2 6 ，我们先给出一个引理。引理2 2 1 若一亡j b ，2 l 一 ( z ，y )
14、 ；zE n ，6 ，Y 6 ，3 l 一 ( z ，y ) ；z 6 ，y b , y d ，b l ，J ”一 ( ，了) ；z 6 ，Y b ) ，R 2 一Ul i J 由( 3 0 1 ) 和( 3 0 2 ) 易知，给出初始条件( z 。，Y o ) E R 2 ，方程( 3 0 1 ) 有满足初始条件的唯一解 ( z 。，y ) ，我们的目的是讨论当n 一。c 时，方程( 3 0 1 ) 的解 ( z 。，Y 。) ) 的渐近性和周期性。3 1 口6 【口一r b 6 一i 二b 0 时，模型解的渐近性周期性3 1 1 主要结果定理3 1 1 若b f j ，则( z - ，弘)
15、 一( o ，o ) ，当n - - w O O 一1 4 定理3 1 3 表明，当口 # j 时，唯一稳定点( o ，o ) 是方程( 3 o 1 ) 的全局吸引子。定理3 1 4 若o o 对方程( 3 1 7 ) 有l i m z 一0 ( 3 1 6 )( 3 1 7 )( 3 1 9 )( 3 1 1 0 )下面我们给出本节各定理的证明。定理3 1 1 的证明设( z 。，y 。) R 2 ， ( z ，y ) 是( 3 0 1 ) 满足初始条件( 3 1 1 ) 的解，则由( 3 1 2 ) 一( 3 1 5 ) ，( 3 1 1 0 ) 和( 3 1 1 1 ) ，并注意到b 0 ，总存在m E N ，使n E N ( m ) 时有a c 1 y ( 一e ，r b + e ) 注意到n 詈因为Y 。 妇，妇+ 1 ) ，n N ( 1 ，2 1 ) ，如果在此过程中，存在某个m
