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1、6.1.26.1.2 类比类比一、教学目标一、教学目标 （一）知识目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用类 比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 （二）情感目标： 合情推理中的类比也是进行数学发现时的创新思维的重要方式，通过例习 题的讲解让学生初步认识到合情推理在数学发现中的重要作用，养成认真观察、 善于类比、敢于猜想和勇于创新的精神，塑造学生良好的个性品质 （三）能力目标： 类比推理是进行数学发现时的创新思维的重要组成部分，也是数学知识再 创造性学习时必不可少的思维方法，同时它还是解决数学问题时的一种重要思 维方法类比推理能力的培养须贯穿于中
2、学数学教学的全过程 二、教学重点二、教学重点 类比推理的概念；运用类比推理的一般步骤；类比推理在数学发现中的应 用 三、教学难点三、教学难点 类比推理在数学发现中的应用 四、教学过程四、教学过程 （一）引入课题（一）引入课题 （配合多媒体演示）在归纳推理的学习中知道，推理是思维的基本形式， 归纳与类比是合情推理最常见的方式那么，什么叫做类比呢？类比是很常见、 有趣而又能启发灵感的思维方式，类比是一种相似，即类比的对象在某些部分 或关系上的相似 1日常语言里，人们经常运用类比， “比方说” 、 “譬如说”时常耳闻； “山头” 、 “山腰” 、 “山脚” 是藉用“人体部位”比拟“山的部位” ；“领
3、袖” 用来比拟“首长” ；成语“求学如逆水行舟，不进则退” “十年树木，百年树人” “如人饮水，冷暖自知”等是类比；古人所说的“举一反三”和“触类旁通” 的成语指的也是关于类比的创意与灵感在文学作品中类比用得好，可使文章 或语句大为生色，如“问君能有几多愁，恰似一江春水向东流” 2科学研究中的类比：潜水艇的设计是运用了鱼类在水中浮沉之生物机制 的类比；阿基米德在浴缸中悟出了浮力原理，同样是类比的结果在科学研究 中类比可以引出新的发现 3艺术中的类比：书法家王羲之与黄庭坚分别由鹅群移走与船桨动态的韵 律而领悟笔法在艺术中类比让艺术家产生创造灵感 使用教材 P.115 “鲁班发明锯子”的故事，着重
4、指出鲁班是根据带齿的草 叶与带齿的铁片结构相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木 导出结论：所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它 们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式归纳推理是由特殊到一 般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理 （二）传授新知（二）传授新知 在数学中，类比推理是一种合情的推理方式例如，代数中根据分式与分 数都具有分子、分母这个相同的形式，类比推出分式具有与分数相似的性质：ABEGDOCFH图 6-2分式可以像分数一样进行化简和运算 课件展示教材 P. 116 页例 1，引导学生获得表 62 中长方体类比于长方形 而得到的性质 在解决立体几何和有关
5、次数等问题时，大多应用降维类比，将三维空间的 对象降到二维甚至是一维的空间中的对象加以考察，教材 P.116 例 1 研究长方 体性质时，教材 P.118 习题 1 研究几何体球的有关概念时，就分别将长方体降 维成长方形，球降维成圆，通过类比，得到了长方体中与长方形相类似的诸多 性质，以及球中与圆相类似的诸多概念，这种类比归根结底是属于简化类比， 简化类比就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思 路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法 课件展示补充例题：在探讨等比数列的性质时，很容易联想到等差数列， 因为二者在定义上是非常类似的通过类比，可以得到与等差数列的性质相类 似
6、的一系列关于等比数列的性质，把它们的定义、通项、性质列表类比如下： 等差数列等比数列 定 义（为常数，daann1d2n）Nn （为常数，,qaann1q2n）Nn 通 项dnaan) 1(11 1n nqaa性 质qpnmaaaaqpnm()*, , ,Nm n p q qpnmaaaaqpnm()*, , ,Nm n p q 与简化类比相应的有结构类比. 结构类比是凭借命题在结构上的相似性等 去寻找类比命题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决， 例如数形结合思想就是基于代数与几何问题在结构上的相似性而产生的，是形 与数之间的类比，再如教材 P.118 习题 2 中，研究双曲
7、线的性质时，将双曲线 与椭圆进行类比也是属于这种结构类比 （三）讲解例题：（三）讲解例题： 1已知 01，01求证：ab+222222)1 ()1 (bababa22)1 ()1 (ba. 22【分析分析】观察待证式左端，它的每个根式都使我们类比联想到 RtABC 中 的等式，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的想222cba 法 解解 如图 6-2，作边长为 1 的正方形 ABCD，分 别在 AB,AD 上取 AE=a，AG=b，过 E,G 分别作 AD,AB 的平行线，交 CD,BC 于 F,H，EF,GH 交于 O 点由题设条件及作图可知，AOG, BOE, COF, DOG
8、 皆为直角三角形，2222)1 (,baOBbaOAOC=2222)1 (,)1 ()1 (baODba连结对角形 AC，BD，易知 AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，2222222)1 ()1 (bababa22)1 ()1 (ba22合理的类比联想是以正确的观察为基础的观察所研究问题的特征和规律， 联想似曾相识的问题，类比已知的公式、定理，便可以迅速地找到一个解决新 问题的模式 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：讲解或让学生参看教材例 2 与例 3 （多媒体展示） “类比是一个伟大的引路人” （波利亚） “每当理智缺乏可 靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们
9、前进” （康德） 类比与归纳一样，也是一种合情推理，其结论也不一定是可靠的，结论正 确与否，必须经过严格的证明例如：在实数运算时，若 ，但若类比得到向量运算时有就会000a bab或000a bab 或 发生错误 （四）技能训练（四）技能训练 1学生阅读教材 P.117 练习，教材 P.118 习题 2 中的 1,2 2证明柯西不等式： （）（）（当22 22 1naaa22 22 1nbbb2 2211)(nnbababa且仅当时取“等号” ） nn ba ba ba2211【解解】设=， =，=a22 22 1naaac22 22 1nbbbb，柯西不等式变为，类比联想到一元二次方)( 2
10、2211nnbababa042 acb程的判别式，构造一元二次函数 =（）+（)(xf22 22 1naaa2x)(22211nnbababax） ，22 22 1nbbb显然，0)()()()(22 222 11nnbxabxabxaxf所以，方程0 的判别式不大于 0，即)(xf042 acb当且仅当方程0 有唯一解时，判别式)(xfxnn ba ba ba2211042 acb （）（）（当22 22 1naaa22 22 1nbbb2 2211)(nnbababa且仅当时取“等号” ） nn ba ba ba2211（五）课堂小结（五）课堂小结 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类
11、比、归纳等探测性方法进行 探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或 否定猜想，进而达到解决问题的目的所以，类比、归纳不仅是数学发现中获 得猜想的重要方法，同时也是解决数学问题时获取猜想发现解题途径的重要方原问题类比问题原问题解法类比问题的解法类比猜想法 在实际的数学发现中，往往是先从想象开始，对一个已解决的数学问题进 行类比拓广，获得新的数学问题或数学猜想，再通过新旧问题之间的类比，参 考旧问题的解证方法，获得解决新问题与证明猜想的方法总之，数学中问题 的发现与问题的解决，都离不开类比推理，它是我们最可信赖的老师 （六）思维与拓展（六）思维与拓展 求函数的最小值1345222xxxxy【解解】将原函数变形为，由两2222)30()2()20() 1(xxy点间的距离公式得几何意义为点（，0）到点（1，2）与点（2，3）MxAB 距离之和的最小值，如图 6.3，利用同构类比转化，根据几何定理， 的最小值为关于轴对称点（1，2）与点 B 的距离，所以函MBMA AxA数的最小值1345222xxxxy26)32()21 (22 miny五、布置作业：五、布置作业： 教材 P. 119 习题 3
