《概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.4 全概率公式与贝叶斯公式1. 全概率公式2. 贝叶斯公式1 11. 全概公式抽签问题：假设有10张票，其中有7张足球票，10人轮流抽签，问先抽和后抽得到足球票的概率是否相同？看法一看法一：10人轮流抽签，机会相等。看法二看法二：因为抽签有先后，显然先抽的人抽到的概率大，后抽的人抽到的概率小。2 2分析设A=第一人抽到球票，B=第二人抽到球票则又二者是互不相容的，故3 3同理，可算出第三人，第四人直到最后一人抽到的概率都相同。上述分析的实质是将一个复杂事件分解为较简单的几个事件，然后将概率的加法公式和乘法公式结合起来，这就产生了所谓的全概率公式。故第一人和第二人抽到的概率相等。4 4定理
2、定理1.4.11.4.1设事件 两两互不相容，则对于任一事件B，有上式称为全概率公式5证明证明 由事件 两两互不相容，所以也两两互不相容，且于是根据加法公式和乘法公式，即得6 6（1）全概率公式中的事件组 叫完备事 件组；（2）在定理中的条件 可减弱为结论亦然成立。（3）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些 原因引发，而这些原因又构成完备事件组；（4）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完 备事件组。注7 7解解 设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi表示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1,2,3）8 8易知于是按全概率公式所求的概率9 91010则有所求的概率为 解解 设事件B
3、i是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3， 4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查 的10个产品都是合格品1111例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个 正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次 品；在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的 概率.解:设Bi=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3)， A=取得正品. 由题意知=B1+B2+B3且B1,B2,B3是两两互不 相容的事件. 则P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3，P(A|B2)=3/4，P(A|B3)=2/4=1/2由全概率公式得P(A)=
4、P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.641212例 市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应量 为：甲厂家是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家相等， 且各厂产品的次品率为2%,2%,4%.(1)求市场上该种商品的次品率.解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3，B表示取到次品，由题意得:P(A1)=0.5，P(A2)=P(A3)=0.25， P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.04由全概率公式得:1313分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B). 这也就是下面的Bayes公式.(2)若从市场
5、上的商品中随机抽取一 件，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?14142. 贝贝叶斯公式 贝叶斯公式是全概率公式的逆问题：若已知“结果”B已经发生了，要求引起B发生的 某一种“原因”Ak发生的概率 定理1.4.2 设 构成一个完备事件组，则对于任一事件B，且 有此公式称为贝贝叶斯(Bayes)公式（或逆概率公式） 15证明 由条件概率的定义及乘法公式和全概率公式有161. A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的原因；2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下，某个原因Aj发生的概率，称为 “后验概率”。3. 贝叶斯公式给出了“结果”事件B已发生的条件下，“原因”事件Aj的条件概率。因此B
6、ayes公式又称为“后验概率公式” ；4. P(Aj)对应可以称为“先验概率”。注1717u这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重视.。后来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性。u现在，贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为工程技术、机器学习、人工智能、经济分析、投资决策、药理的临床检验及疾病的计量诊断等领域的重要工具。1818例 设8支枪中有3支没有经过试射校正，5支经过试射校正一射手用校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3. 今从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶求所用的这支枪是经过校正过的概率解解设A
7、1=枪经过试射校正， B=中靶 A2=枪没有经过试射校正则A1，A2构成完备事件组由题意知1919由逆概公式得20例: 无线电通讯中发报台分别以概率0.6和0.4发出信 号“.”和“-”. 由于干扰发出信号“.”时，收报台以概 率0.98收到信号“.”；发出信号“-”时，收报台以概 率0.99收到信号“-”. 求在收报台收到信号“-”的条 件下，发报台发出信号“.”的概率.解:设B1=发出信号“.”，B2=发出信号“-”， A1=收到信号“.”，A2=收到信号“-”.由于B1B2=，B1B2= ，A2=A2B1 A2B2于是2121解:由贝叶斯公式得 例: 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的的试验具 有如下的效果: 若记A=试验反应为阳性，C=被诊 断者患有癌症 . 则有P(A|C)=0.95， =0.95. 现 在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概 率P(C)=0.005，试求P(C|A). 2222例 三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9试求目标被摧毁的概率2323解 设事件 B=目标被摧毁 显然，A1，A2，A3构成一个完备事件组2425依题题意知应应用全概率公式，得 2626
