《线性代数 矩阵 第5节 矩阵的秩与初等变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 矩阵 第5节 矩阵的秩与初等变换（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2 2x x1 1 3 3x x2 2+ 4 + 4x x3 3= 4= 4x x1 1+ 2 + 2x x2 2 x x3 3= = 3 32 2x x1 1+ 2 + 2x x2 2 6 6x x3 3= = 2 2 一一. . 初等变换初等变换 公元前公元前1 1世纪世纪, ,九章算术九章算术 初等变换初等变换, , 相当于相当于高斯消元法高斯消元法 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵
2、 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3= = 4 4x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 32 2x x1 1+2+2x x2 2 6 6x x3 3= = 2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3= 4 = 4x x1 1+ + x x2 2 3 3x x3 3= = 1 1 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3x x2 2+2+2x x3 3= = 2 2 x x2 2 2 2x x3 3= = 2 2 2 2 ( ( 1)1)x x1
3、1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3 x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 32 2 2 2 6 6 2 2轻装上阵轻装上阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 ( ( 1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 第二章第二章
4、 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 5 5x x3 3= = 1 1x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 1 0 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 = 5= 5c c + +
5、 1 1x x2 2= = 2 2c c 2 2x x3 3= = c c其中其中c c为任意实数为任意实数. . 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( 2) 2) 2 2 1 0 1 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( 1) 1) 5 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Gauss-Jordan reduction第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1
6、. 1. 初等行变换初等行变换( (elementary elementary row operationsrow operations) ) 初等列变换初等列变换( (elementary columnelementary column operations operations) ) (1) (1) 对换变换对换变换: : r ri ir rj j, , (2) (2) 倍乘变换倍乘变换: : r ri i k k, , (3) (3) 倍加变换倍加变换: : r ri i+ +k kr rj j. . 初等变换初等变换 (1) (1) 对换变换对换变换: : c ci ic cj j,
7、, (2) (2) 倍乘变换倍乘变换: : c ci i k k, , (3) (3) 倍加变换倍加变换: : c ci i+ +k kc cj j. . 初等行变换初等行变换 初等列变换初等列变换 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 若矩阵若矩阵A A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B B, , 则称则称A A与与 B B等价等价( (equivalent). equivalent). 记为记为A A B B. . (1) (1) 反身性反身性( (reflexivity) reflexivity) A A A A, ,
8、容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质: : (2) (2) 对称性对称性( (symmetry) symmetry) A A B B B B A A, , (3) (3) 传递性传递性( (transitivity) transitivity) A A B B, , B B C C A A C C. . 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2. 2. 行阶梯形矩阵与行最形矩阵行阶梯形矩阵与行最形矩阵 A A 中非零行的数目为中非零行的数目为A A的的阶梯数阶梯数. . 1 1 0 0 4 0 1
9、0 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 0 41 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0,行阶梯形行阶梯形( (r rowow echelon form echelon form) ) 注意注意 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵! ! 1 1 0 0 4 0 1 0 2 2 0 2 0 2 3 0 0 0 0 4第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 则称则称A A为为行最简形行最简形( (reduced reduced row row echelon formechelon form) ). . 如果阶
10、梯阵如果阶梯阵A A还满足如下条件还满足如下条件 各非零首元全为各非零首元全为1, 1, 非零行首元所在列的其余元素全为非零行首元所在列的其余元素全为0, 0, 1 0 2 0 1 0 1 3 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0注注: : 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明: : 任何一个矩阵都任何一个矩阵都可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为行最简形变换化为行最简形矩阵矩阵. .例如例如 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 3. 3. 若若mm n n矩阵矩阵 A A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变
11、换化为 E Er rO Or r ( (n n r r) )O O( (mm r r) ) r r O O( (mm r r) ) ( (n n r r) )的形式的形式, , 为为A A的的( (等价等价) )标准形标准形 则称则称 注注: : 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明: : 任何一个矩阵都任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形可以经过有限次初等变换化为标准形. .(canonical form). (canonical form). 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 二二. . 初等矩阵初等矩阵( (ele
12、mentary reduction matrices) elementary reduction matrices) E E c ci ic cj j E E( (i i, , j j) ) E E c ci i k k E E( (i i( (k k) ) E E c ci i+ +k kc cj j E E( (j j, , i i( (k k) )E E r ri ir rj j E E( (i i, , j j) ) (1) (1) E E r ri i k k E E( (i i( (k k) ) (2) (2) E E r ri i+ +k kr rj j E E( (i i, , j j( (k k) ) (3) (3) 一次初等变换一次初等变换 1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵 第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式 2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E E( (i i, ,
