动车组票价定价的规划

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1、 2010201020102010 届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛题题目目名名称称： ：动车组票价定价的规划动车组票价定价的规划参参赛赛队队号号： ： zjtiemath11队员队员姓名姓名： ：殳惠殳惠东东、阮道明、章程、阮道明、章程竞赛类别竞赛类别： ：申申请请参加国家参加国家竞赛竞赛 不申不申请请参加国家参加国家竞赛竞赛浙江经济职业技术学院数学建模基地组委会制浙江经济职业技术学院数学建模基地组委会制二二一一年六月年六月选择题号选择题号（在方格内打）乙乙组组AB2010 届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛届校内数学建模竞赛题 目

2、 动车组票价定价的规划动车组票价定价的规划摘 要：本文探讨解决在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给 出一个折扣的铁路客票，既能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客 满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。在如下条件下 制定出最优策略的铁路客票价格：在铁道部目前已经公布的车票价格，根据不 同时期、不同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票 价，下限则不低于最高价格的六折。而根据统计数据可知，旅客能够承受的平 均运营价格为：0.2465 元/公里。问：如何在以最快速度收回成本，并让六成 旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%）条件

3、下的折扣？四趟动 车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一或不同的折扣即合理性？题设的约束条件 下，我们认为这个问题基本上是价格最优化问题。于是采用优化假设的方法， 按照出行者出行费用最小，铁路客运部门取得最大经济效益原则，同时优化统 一或不同的折扣，设计出近似的最优价格，以此计算出出行者和铁路客运部门 两方面都能接受的折扣价格。 对于问题一，我们通过在 D1 列车满足旅客人数与浮动价格的条件下进行的 分析，即在以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价 格浮动不超过 15%）条件下的折扣，这时就是计算 D1 列车最大利润时的折扣价。 通过数型结合的分析，去确定最后的价格

4、。 对于问题二, 计算四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用统一折扣。我们 通过数型结合，在计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润关系式，在把 四个关系式结合成总的利润式，计算在总利润最大时的折扣，即在最快回收成 本时的折扣。 对于问题三，计算四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣率，我们 也是运用数型结合的方法，分别计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润 关系式，再求出它们各自的最大利润，即最快回收成本时得折扣。关键词：票价，最优折扣，线性规划，数型结合一、 问题重述在 2007 年 4 月 18 日，中国铁路迎来第六次大面积提速，投

5、入使用的 D 字 头列车的时速将达 200 公里及以上，平均每公里投资约 495 万元。单列 CRH 列 车的投资是 2 亿元。动车组的运营成本每趟 10 万元/每千公里。在人们感叹火 车速度提高的同时，D 字头列车票价的提高却引来了多方质疑。以北京局的几 趟动车组为例，由于高票价问题使得单次列车承运人数不到六成。4 月中旬， 铁道部在接受媒体采访时称，动车组票价的浮动各铁路局可以自己决定是否推 出月票或其他优惠措施。铁道部目前已经公布的车票价格只是公示价格，并不 一定是最高价格，各地铁路运输单位可以根据不同时期、不同季节、不同线路 对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不低于最

6、高价格的 六折。因而将北京局的四趟线路近几年的 4 月 20-6 月 19 日的平均乘车人数进 行了统计。根据统计数据可知，旅客能够承受的平均运营价格为：0.2465 元/ 公里。 要在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣 的铁路客票价格制定的最优策略。既能保障出行者使自己的出行费用最小，让 多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。 问题 1 按照以上规定，假设以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行 价格满意（平均运营价格浮动不超过 15%），讨论北京局的动车组 D1 的折扣。 问题 2 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采

7、用统一折扣。 给出统一的折扣率。并说明方法的合理性。 问题 3 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣率。 给出一个动车组票价的调整方案，并说明合理性。二、问题假设（1）所给数据具有代表性，且认为是准确可靠的。 （2）不考虑具体乘坐是卧铺，软卧还是软座，均假设每列车只有卧铺车。 （3）动车在运行时不出现较大的问题。 （4）铁路客运部门在运输市场中所需的平均成本以及所取得的经济效益不变。 （5）旅客能够承受的平均运营价格变动浮动不大。 （6）两趟车之间没有停顿。三、符号说明: 平均运营价格x：每趟动车运营的利润 y: 每趟动车的旅客人数 p：列车的固定成本f：时间s：

8、列车来回一趟d：运营价格的折扣t四、问题分析由以上给出的资料中我们可以看出，此题是关于价格的线性规划问题，在 网上查阅对照有关于线性规划得材料，可以得出题目是要求出最大利润，在关 于现有价格与原价格得比较得出给出的折扣是多少，才能保障出行者使自己的 出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经 济效益最大。 问题一的分析：首先得出旅客人数与运营价格的关系，再得出 D1 列车每趟 车所能获得的最大利润，则此时的运营价格也就能相应的求出，然后再根据 D1 列车来回一趟的时间，计算出在 D1 列车每趟车所能获得的最大利润时需要多少 时间才能回收总成本。最后在根据所画得图，通过

9、数型结合，验证所求的最大 利润在所要求的区间内是正确的。 问题二的分析：所要求的是北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用 统一折扣，则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与价格的关 系，代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆列车每趟所能获得的利润。然后再求 出四辆列车的总关系式。最后通过数型结合，画图得出当总利润最大时的统一 折扣。 问题三的分析：所要求的是北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采用 不同的折扣，则首先则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与 价格的关系，代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆列车每趟所能获得的

10、利润。 然后再分别求出四辆列车的分别在最大利润时的折扣。最后画图得出每辆列车 的折扣是在让旅客满意是所能得到的最大的利润。五、模型的建立与求解问题 1：根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格，为旅客能够承受x1x的平均营价格，为平均运营价格，为 D1 列车每趟动车运营的利润， 2x1y1pD1 每趟动车的旅客人数，为时间，为 D1 列车来回一趟车的时间，s1s为收回总的成本的时间，为列车的固定成本，为列车来回一趟。总sfd由题意得：元2465.01x公里元千公里万元/100/102x设bkxp1有已知条件可得：bk 2465. 0687bk )15. 12465. 0(432求得6897k

11、2387b则238768971xp则 D1 列车每趟动车运营的利润)(868211xxpy代入238768971xp得100)23876897(8681xxy)10023876897(8682 1xxy86800207191659865962 1xxy因为由题意所要求的是最大利润，所以 max86800207191659865962 1xxyts.283475. 0209525. 0 x由题意得小时分137851s亿亿万966.442868495f当时，209525. 0x26606169004/966.44)284502/(966.44/max1亿亿yfd年天小时总5 .3914411345

12、8781326606sx1y根据图所得当时，D1 列车每趟动车运营的利润最大209525. 0x元，铁路客运部门在第收回成本，则此时的折84502max1y年5 .39扣为。%85问题问题 2 2：根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格价格，为旅客能够承x1x受的平均营价格，为平均运营价格，为列车的总利润， D1 列车每趟2xy1y动车运营的利润，D23 列车每趟动车运营的利润, D25 列车每趟动车运2y3y营的利润, D37 列车每趟动车运营的利润, D1 每趟动车的旅客人数，4y1p为运营价格的折扣。t由题意得tx261 tx373tx464tx184同时由问题一得238768971

13、xp则)(868211xxpy代入238768971xp得100261)23872616897(8681tty)10026123872616897(8682 1tty8680054077007615625015562 1tty)(868212xxpy代入238768971xp得100373)23873736897(8682tty)10037323873736897(8682 2tty8680077282466822330003082 2tty)(868213xxpy代入238768971xp得100464)23874646897(8683tty)10046423874646897(8682 3

14、tty86800961360901427777805442 3tty)(868214xxpy代入238768971xp得 100184)23871846897(8684tty)10018423871846897(8682 4tty8680038123254411015336642 4tty因为由题意所要求的是四辆列车 D1、D23、D25、D37 的最大总利润，所以 max4321yyyyy86800381232544110153366486800961360901427777805448680077282466822330003088680054077007615625015562222tt

15、tttttty868002113084363076748160722tty ts.16 . 0 t1yt tt根据图所得，当时 D1、D23、D25、D37 四辆列车每趟所得的利75. 0t润元，所以北京局的四趟动车组4164156386maxy1ytD1，D23，D25，D37 均采用统一折扣七五折。问题 3：根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格价格，为旅客能够承x1x受的平均营价格，为平均运营价格，为列车的总利润， D1 列车每趟2xy1y动车运营的利润，D23 列车每趟动车运营的利润, D25 列车每趟动车运2y3y营的利润, D37 列车每趟动车运营的利润, D1 每趟动车的旅客人数，4y1p为折扣，为 D1 列车的折扣，为 D23 列车的折扣，为 D25 列车的折t1t2t3t扣，为 D37 列车的折扣。4t由题意得1261tx 2373tx 3464tx 4184tx 同时由问题一得238768971xp1)(868211xxpy代入238768971xp得100184)23871846897(868111tty)10018423871846897(86812 11tty86800540770076156250155612 11tty ts.16 . 0