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1、材料力学第三章 扭 转3-1 扭转的概念和实例3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图3-3 纯剪切3-4 圆轴扭转时的应力3-5 圆轴扭转时的变形材料力学第三章 扭 转3-1 扭转的概念和实例1受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向 相反的外力偶。 2变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。材料力学第三章 扭 转材料力学第三章 扭 转受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的 ，所以本章主要介绍圆轴扭转。材料力学第三章 扭 转3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图直接计算1外力偶矩材料力学第三章 扭 转按输入功率和转
2、速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me材料力学第三章 扭 转例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动 轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。 MAMBMCBC ADMD解：计算外力偶矩材料力学第三章 扭 转2扭矩与扭矩图扭矩的正负号规定：按右手螺旋 法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法 线方向一致为正，反之为负）T称为截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正
3、，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩 画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。注意MeMeMeTx材料力学第三章 扭 转材料力学第三章 扭 转扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目 的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT材料力学第三章 扭 转例3-2-2 计算例3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBC ADMD解：已知477.5Nm955Nm637NmT+- 作扭矩图如左图示。材料力学第三章 扭 转例3-2-3 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=15
4、0kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。解：计算外力偶矩n A B C Dm2 m3 m1 m4112233材料力学第三章 扭 转求扭矩（扭矩按正方向设）材料力学第三章 扭 转绘制扭矩图BC段为危险截面。xTn A B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37 材料力学第三章 扭 转3-3 纯剪切薄壁圆筒：壁厚（r：为平均半径）1实验：实验前：绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力 材料力学第三章 扭 转2 实验后：圆周线不变；纵向线变成斜直线。3 结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均
5、倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。材料力学第三章 扭 转acddxbdy无正应力 横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与 该截面的扭矩方向一致。4 与 的关系：微小矩形单元体如图所示：材料力学第三章 扭 转5 薄壁圆筒剪应力 大小： A：平均半径所作圆的面积。材料力学第三章 扭 转二、切应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dyt z材料力学第三章 扭 转三、切应变 剪切胡克定
6、律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。材料力学第三章 扭 转T=m剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。材料力学第三章 扭 转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。材料力学第三章 扭 转1. 横截面变形后仍为平面；2.
7、轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行。平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍为平面，它像刚 性平面一样绕轴线旋转了 一个角度。3-4 圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：材料力学第三章 扭 转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：距圆心为 任一点处的与 到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变 化率。材料力学第三章 扭 转2. 物理关系：虎克定律：代入上式得：材料力学第三章 扭 转3. 静力学关系：OdA 令代入物理关系式 得：材料力学第三章 扭 转横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 式中
8、：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。材料力学第三章 扭 转单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO材料力学第三章 扭 转对于空心圆截面：dDOd材料力学第三章 扭 转 应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。材料力学第三章 扭 转 确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：材料力学第三章 扭 转三、强度条件强度条件：
9、， t许用切应力；轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切 状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t 与许用正应力之间存在下述关系：对于塑性材料 t (0.5一0.577) 对于脆性材料， t (0.81.0) l式中， l代表许用拉应力。材料力学第三章 扭 转强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：材料力学第三章 扭 转例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1) 利用薄壁管的
10、近似理论可求得(2) 利用精确的扭转理论可求得材料力学第三章 扭 转例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1材料力学第三章 扭 转例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm， 传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。 解：计算截面参数： 由强度条件：故轴的强度满足要求。 材料力学第三章 扭 转同样强度下，
11、空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一， 故空心轴较实心轴合理。 空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为： 由上式解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使，则材料力学第三章 扭 转例3-4-4：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如 图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。T m解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。x材料力学第三章 扭 转3-5 圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为材料力学第三章 扭 转二、单位扭转角 ：或三、刚度条件或GIp 抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变
12、形能力的强弱。 称为许用单位扭转角。材料力学第三章 扭 转刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。材料力学第三章 扭 转例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试 计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴 的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I 3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：1扭转变形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为： T1180 Nm， T2-140 Nm材料力学第三章 扭 转设其扭转角分别为AB和BC，则：材料力学
13、第三章 扭 转各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC的总扭转角为2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。材料力学第三章 扭 转例3-5-2：长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若 =2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。材料力学第三章 扭 转 由扭转刚度条件校核刚度解：设计杆的外径代入数值得：D 0.0226m。材料力学第三章 扭 转40NmxT右端面转角为：材料力学第三章 扭 转例3-5-3：某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力 ，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？500400N1N3N2ACB材料力学第三章 扭 转解：图示状态下
