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1、三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法题号函数的定义域、值域1、7、11函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性2、3、5、6、9、10函数的图象4、8一、选择题1.函数 y=的定义域为( C ) 1 2(A) 3, 3(B),kZ Z 3, + 3(C),kZ Z2 3,2 + 3(D)R R解析:由题意得 cos x ,1 22k- x2k+ ,kZ Z. 3 3故选 C. 2.(2013 遵义模拟)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对 称中心为( C )(A)(B)(0,0)( 8,0)(C)(D)(1 8,0)(1 8,0)解析
2、:f(x)=sin(a0),2( + 4)又函数的最小正周期为 1,故=1,2 a=2,故 f(x)=sin.2(2 + 4)将 x=- 代入得函数值为 0.1 8故选 C. 3.(2013 济南模拟)使函数 f(x)=sin(2x+)为 R R 上的奇函数的 值可以是( C )(A)(B)(C)(D) 4 23 2解析:要使函数 f(x)=sin(2x+)为 R R 上的奇函数,需 =k,kZ Z.故选 C.4.函数 f(x)=sin xcos+sinsin的图象( D )( 4)( 2+ )( 4)(A)关于原点对称 (B)关于 y 轴对称(C)关于点对称( 8,0)(D)关于直线 x=对
3、称3 8解析:利用诱导公式可得 f(x)=sin xcos+cos ( 4)xsin=sin=sin,f(0)=-0,f(-x)=sinf(x),故选项( 4)( + 4)(2 4)22( 2 4)A、B 均错误;f=sin=-10,选项C 错误;f=sin =1,选项 D 正确,所以选 D.( 8)( 2)(3 8) 25.(2013 温州模拟)已知函数 y=2sin(x+)(0)为偶函数(00,-.若 f(x)的最小正周期为 6,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( A ) 2(A)f(x)在区间-2,0上是增函数 (B)f(x)在区间-3,-上是增函数 (C)f(x)在区间3,5上是
4、减函数 (D)f(x)在区间4,6上是减函数 解析:f(x)的最小正周期为 6,= ,1 3当 x= 时,f(x)有最大值, 2 += +2k(kZ Z),= +2k,1 3 2 2 3-,= . 3f(x)=2sin,由函数 f(x)的图象(图略)易得,在区间-2,0上是增函数,而在区间( 3+ 3)-3,-或3,5上均没单调性,在区间4,6上是增函数.故选 A. 二、填空题7.函数 f(x)=sin x+cos x的值域是 . 3( 2, 2)解析:f(x)=sin x+cos x3=2sin,( + 3)又 x, 2, 2x+ , 3 6,5 62sin-1,2.( + 3)答案:-1,
5、28.函数 y=tan的图象与 x 轴交点的坐标是 . (2 + 4)解析:由 2x+ =k(kZ Z)得, 4x=- (kZ Z). 2 8函数 y=tan的图象与 x 轴交点的坐标是.(2 + 4)( 2 8,0)答案:( 2 8,0)9.已知函数 f(x)=Acos(x+)的图象如图所示,f=- ,则 f(0)= . ( 2)2 3解析:法一 由题中图象可知所求函数的最小正周期为,故 =3,从函数图象可以看出这个2 3函数图象关于点中心对称,也就是函数 f(x)满足 f=-f,当 x=时,得 f(7 12,0)(7 12 )(7 12+ ) 12=-f=-f(0),由图象知 f=- ,故
6、得 f(0)= .( 2)(2 3)( 2)2 32 3法二 根据题图,可得 =3,把 x=代入函数解析式,得 A=Acos,取一个满足这个方程的最简单的 ,令7 12+11 12 23 4(9 4+ )=- , 4故函数的解析式是 f(x)=Acos,(3 4)由 f=- ,可得 Acos=- ,( 2)2 3(3 2 4)2 3由此得 A=,2 23故函数的解析式是 f(x)=cos,2 23(3 4)故 f(0)= .2 23222 3答案:2 3三、解答题10.已知函数 f(x)=asin-cos x,且 f=.( + 3)32( 3)34(1)求实数 a 的值; (2)求函数 y=f
7、(x)cos x 的最小正周期和单调递增区间.解:(1)因为 f(x)=asin-cos x,( + 3)32且 f=,( 3)34则有a-=,所以 a=1.323434(2)由(1)知,f(x)=sin-cos x= sin x,( + 3)321 2所以 y=f(x)cos x= sin xcos x= sin 2x,1 21 4其最小正周期 T=.由 2k- 2x2k+ (kZ), 2 2得 k- xk+ (kZ), 4 4故函数 y=f(x)cos x 的单调递增区间为(kZ). 4, + 411.(2013 北京西城区期末)已知函数 f(x)=sin2x+sin xcos x,x.3
8、 2,(1)求 f(x)的零点;(2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x(sin x+cos x)=0,3所以 sin x=0 或 tan x=-.33由 sin x=0,x,得 x=; 2,由 tan x=-,x,得 x=.33 2,5 6综上,函数 f(x)的零点为或 .5 6(2)f(x)=(1-cos 2x)+ sin 2x321 2=sin+.(2 3)32因为 x,所以 2x- . 2, 32 3,53所以当 2x- =, 32 3即 x= 时,f(x)的最大值为; 23当 2x- =, 33 2即 x= 时,f(x)的最小值为.11 123 22
