概率论与数理统计-第十章 点估计

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1、第十章 点估计第一节 点估计问题第二节 估计方法第三节 点估计的优良性第一节 点估计问题1、总体参数概念总体参数, 狭义指总体分布的数学表达式 中所含的参数。定义1.1 总体X的分布参数, 理论概率分布 参数, 统称为总体参数。例如, 正态分布N(,2)的参数为,2; 二项 分布B(n,p)的参数为n,p; 泊松分布P()的参 数为等等。广义来说，总体参数可指总体或理论分布的数字特征，其中包括狭义总 体参数。例如，总体的原点矩、中心 矩、协方差、相关系数、偏度、峰度 以及事件的概率，或总体具有某种特 征A的个体的比率等等。2、参数的点估计 定义1.2 设X1,X2,Xn为总体X的样本，为 总体

2、分布F(x;)中的未知参数，构造一个统 计量T=T(X1,X2,Xn)作为的估计，则称 T=T(X1,X2,Xn)为的估计量；若样本X1, X2, Xn的一个观察值为x1, x2, xn，则称 t=T(x1,x2,xn)为的估计值，统称为参数 的点估计，注1 点估计实际上是指用统计量的值去估计 未知参数的值, 又指用来估计未知参数的统计 量。例如, 用样本均值估计总体的期望, 用样 本方差估计总体方差, 用频率估计概率。注2 若总体分布F(x;1,2,r)中含有r个不同 的未知参数, 则需由样本X1, X2,Xn建立r个统 计量Ti(X1,X2,Xn)作为相应参数i的点估计。例如: 正态总体N

3、(,2)有两个未知参数及 2, 而E(X)=, D(X)=2, 可分别用样本均值第二节 估计方法 1、矩估计法其基本思想是替换原理, 即用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数。其特点是不需要假定总体分布有明确的分布类型。定义2.1 若总体X的分布函数F(x;1,2,r) 中含有r个未知参数1,2,r , 假定总体X的 k阶原点矩E(Xk)存在, (1kr), 记作令其等于k阶样本原点矩由上面的方程组解出r个值即令分别取 作为i的估计量, 这种求估计量的方 法称之为矩估计法, 由此得到的估计量称为矩 估计量。若有一样本值x1, x2,xn，则称为矩估计值

4、。注1 设总体X的期望E(X)=和方差D(X)=2都是有限 的，令解之可得与2的矩估计所以无论X服从什么分布，样本均值 和样本方差S2总 分别是总体期望与方差2的矩估计量。注2例2.1 设X1,X2,Xn是来自总体X的样本，当X的分布为 (1)正态分布N(,2) (2)指数分布E() (3)均匀分布U(a,b) (4)二项分布B(n,p) (5)泊松分布P() 试求其中未知参数的矩估计。注: 由此例可知, 矩估计量不唯一。(4) XB(n,p), E(X)=np, D(X)=np(1p)(5) XP(), E(X)=D(X)=例2.2 设总体X的概率密度为X1,X2,Xn是来自总体X的样本。0

5、.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一 个样本观察值，试求 的矩估计值。例2.3 设总体X的概率密度为2、极大似然估计 定义2.2 设总体X的分布函数F(x;)的形式已 知, 为未知参数, 为的可能取值范围, x1, x2,xn为X的一个样本值,或 (X为离散型)达到最大值(X为连续型)则称 为 的极大似然估计值， 为 的极大似然估计量，统称为 的极大似然估计。注 若总体分布中含有两个以上的未知参数1,2,r 时，则i的极大似然估计 满足求极大似然估计的步骤(1)利用求导法求极大似然估计i)建立似然函数：ii)两边取对数：iii)对i (1ir)求偏导数，并令其值为0iv)由上述r个等式解出 (1ir) ，即为i的极大似然估计。例2.4 设总体X的概率密度为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一个样本观察值, 试求 的极大似然估计。例2.5 设样本X1,X2,Xn来自泊松总体P()，试求未 知参数的极大似然估计。例2.6 设总体X服从正态分布N(,2)，试求未 知参数和2以及的极大似然估计。(2)利用极大似然估计定义求估计i)建立似然函数ii)由x1,x2,xn确定顺序统计值x(1) x(2) x(n)则 即为i (1ir)的极大似然估计。例2.7 设总体X在1,2上服从均匀分布，X的样 本为X1,X2,Xn，求1及2的极大似然估计。