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1、山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义步步高大一轮复习讲义分类加法计数原理与分步乘法计数原理山东省临沂一中学 多媒体教学课件两大基本原理选修2-3 第一章主页1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方 法, , 在第 n 类方案中有 mn种不同的方法, 则完成这 件事情,共有N_种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n个不同的步骤,完成第一 步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法, , 完成第n步有 mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N_种不同的方法.忆 一 忆 知 识 要 点主页排列与
2、组合计 数 原 理二项式定理通项二项式系数性质排列数：组合数：分类计数原理分步计数原理性质对称性增减性与最大值各二项式系数的和两个原理主页3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.忆 一 忆 知 识 要 点主页C16题题号答案12345主页分类加法计数原理分类加法计数原理 【例1】高三一班有学生50人,男生30人,女生20人;高三二班 有学生60人,男生30人,女生30人;高三三班
3、有学生55人,男生 35人,女生20人(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席，有多少种不同的选法?(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选 一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 解:(1)506055165(种), 即所求选法为165种.(2)30302080(种), 即所求选法有80种.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分 类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满 足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属 于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 ,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.主页同学衣服上左
4、、右各有一个口袋，左边口袋装有30 张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这 些英语单词卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张 英语单词卡片，有_种不同的取法.从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类:第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不 同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不 同的取法；上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单 词卡片这件事，应用分类加法计数原理,所以从中任取一 张英语单词卡片的方法种数为302050(种)50主页分步乘法计数原理分步乘法计数原理 【例2】已知集合M3, 2, 1, 0, 1, 2, P(a, b)表示平 面上的点(
5、a, bM), 问：(1) P可表示平面上多少个不同的点?(2) P可表示平面上多少个第二象限的点?(3) P可表示多少个不在直线yx上的点? 解:(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据乘法原理,得到平面上的点的个数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0, 所以有2种确定方法由乘法原理,得到第二象限的点的个数是326.主页分步乘法计数原理分步乘法计数原理 (3)点P(a, b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线yx上的点有6个
6、.由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个).利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺 序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤 都完成了才算完成这件事【例2】已知集合M3, 2, 1, 0, 1, 2, P(a, b)表示 平面上的点(a, bM), 问: (3) P可表示多少个不在直线y x上的点?主页已知集合M3,2,1, 0, 1, 2,若a, b, cM, 则(1) yax2bxc 可以表示多少个不同的二次函数;(2) yax2bxc 可以表示多少个图象开口向上的二次 函数. 解:(1) a的取值有 5 种情况, b 的取值有 6 种
7、情况, c 的取值有6种情况,因此yax2bxc可以表示566180(个)不同的二次 函数.(2)yax2bxc的开口向上时, a的取值有2种情况,b, c的取值均有6种情况,因此yax2bxc可以表示26672(个)图象开口向上的二次函数主页两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【例3】用0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000大的 4 位偶数?解:完成这件事可分为3类方法：第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成:第一步,选取千位上的数字,只有2, 3, 4, 5可以选择,有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已
8、选定的数 字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理,这类数的个数有44348(个);主页两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成；第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可 以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾 两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法;第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有34336(个 )；第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类，有34336(
9、个)对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复 数字的比2 000大的4位偶数有483636120(个).主页用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完 成任务，根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相 乘,得到总数(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析主页解:方法一 以S, A, B, C, D顺序分步染色第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上，有4种方法;第
10、三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S, A ,C相邻, 需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时, D点有3种 染色方法;当A与C不同色时, 因为C与S, B也不同色, 所以C点 有2种染色方法, D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种).如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一 种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.主页解:方法二 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点 染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分
11、步乘法 计数原理即可得出结论由题设, 四棱锥SABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不 相同,它们共有54360(种)染色方法当S, A, B染好时,不妨设其颜色分别为1, 2, 3,若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种)主页方法三 按所用颜色种数分类 第一类:5种颜色全用,共有 种不同的方法;第二类:只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C, 或B 与D),共有2 种不同的方法；第三类:只用3种颜色,则A与C, B与D必定同色,
12、共有 种不同的方法由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为 420(种)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并 使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用,求 不同的染色方法总数.主页(5分)(2010湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )A10 B11 C12 D1526分类不准、计数原理使用不当致误B主页分类不准、计数原理使用不当致误解: 方法一 分0个相同、1个相同、2个相同讨论(1)若0个相同,则信息为:1001. 共1
13、个(2)若1个相同,则信息为:0001, 1101, 1011, 1000.共4个.(3)若2个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为：0101；若位置一与三相同，则信息为：0011；若位置一与四相同，则信息为：0000；若位置二与三相同，则信息为：1111；若位置二与四相同，则信息为：1100；若位置三与四相同，则信息为：1010. 共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的 信息个数为14611.主页解:方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有 4(个)；若2个相同，共有 6(个)故共有14611(个)主页(1)本题考查的是分类加法计数原理，难度不大,属中档题
14、(2)本题要求至多有两个对应位置上的数字相同,应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况.主页1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一 件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法 计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立， 用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计 数原理针对“分步” 问题，各个步骤相互依存，只有各 个步骤都完成了才算完成这件事.2.混合问题一般是先分类再分步.3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更 直观、清楚，便于探索规律.主页应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(
15、2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏主页作业纸:课时规范训练:P.1-2预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!主页一、选择题二、填空题题题号123 答案CCDA组 专项基础训练题组主页三、解答题 7.如图图,用四种不同颜颜色给图给图 中的A, B, C, D, E, F六个点涂色,要求每个点涂一种颜颜色,且图图中每条线线段的两个端点涂不同颜颜色.则则不同的涂色方法共有多少种? 解:先涂A, D, E三个点,共有432=24(种)涂法,然后再按B,C,F的顺序涂色,分为两类：一类是B与E或D同色,共有2(21+12)=8(种)涂法;另一类是B与E或D不同色,共有1(11+12)=3(种)涂法.所以涂色方法共有24(8+3)=264(种)主页三、解答题 8.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法? 解:由题意得有1人既会英语又会日语, 6人只会英语, 2人只会日语第一类:从只会英语的6人中选
