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1、1第四讲 常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数 y=c，幂函数 y=x (Q),指数函数 y=ax,对数函数 y=logax,三角函数（y=sinx, y=cosx , y=tanx 等） ，反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等）是数学中最为基本的 函数，我们把它们统称为基本初等函数. 学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本 性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出 各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数 y=x(=m、n 是互质的整数
2、)草图的一般步骤是：,nm(1)根据指数 的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况m,n 均为奇数时，y=x为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.m 为偶数，n 为奇数时 Y=x为偶函数，图象在一、二象限内关于 y 轴对称. m 为奇数，n 为偶数时，y=x既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如 y=x+的分式函数在高考和竞赛中具有尤xk为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并
3、会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数 y=x+的性xk质求出一些分式函数的值域.2赛题精讲赛题精讲例 1 3 个幂函数 y=和 y=的图象如图 I142：试写出各个函数的43 21 ,xyx65 x图象的对应编号.【思路分析】3 个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已 无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取 x=2 试一试.【略解】当 x=2 时，3 个函数值分别为.因为 y=为增函数，65 43 21 2 ,2 ,2t2,x=2 时，图象的对应点纵坐标最大，图象的对而图中所以.222,65 43 2165 43 2
4、1 应点纵坐标最小，所以 y=对应的图象依次为，.65 43 21 ,xyxyx和【评述】一般地，当 越大大时，幂函数图像在 x1 对应的部分越“高”.此外，本题 方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象. 例 2 比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）53 53 )3()2(与;)()14. 3(32 32 与（3）（4）log23 与 log23.1.54 32 )()(与【思路分析】 （1）中两数有相同的指数，故可将这两者看做同一函数的两5353 xy个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】 （1）因为是（，0）上的减函数，又所以53 xy, 32.53 53
5、 )3()2(（2）因为;)()14. 3(,14. 3)0 ,(32 32 32 所以上的减函数又是xy（3）因为 y=54 32 32 32 )(,54 32,)(,),(所以又上的增函数是x3（4）因为 y=log2x 是（0，+）上的增函数，又 30.a1 时，上式等价于 logax1,即 xa. 0xa . 所以，当 a1 时，函数定义域为（a,+） ；而当 01,则 f(x)=yy是 y 的增函数.4所以 yy=1212只有惟一解 y=12. 即原方程有解.126x例 5 比较下列各组数的大小 ： （1）sin48, cos313； （2）cos96, sin96, tan69. 【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利 用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如 0，1）等. 【略解】 （1）cos313=cos(36047)=cos47=sin43tan45=1 所以 cos960, B=(x, y)|xy|+1=|x|+|y|, AB 是平面上正八边形 的 顶点构成的集合，则 a 的值为 .8函数的最大值为 .11363)(2424xxxxxxf9函数上的单调函数，求 a 的取值范围.), 011)(2是xaxxf10关于 x 的方程(a21)x22(5a+1)x+24=0 有两个不等的负整数根，求 a.
