分析高考数学试题

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1、1分析高考数学试题 提高教学的有效性苏州市教育科学研究院 陈兆华1对 2008 年江苏省高考数学试题的分析 分析 2008 年江苏省高考数学试题，可用两句话概括： 低起点充分体现基础性，高要求必须凸显能力性 2008 年江苏省高考数学科考试说明 （以下简称考试说明 ）给出了 2008 年 普通高等学校招生全国统一考试数学科（江苏卷）的命题原则： （1）遵循教育部考试中心颁发的2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （数学科）大纲精神； （2）依据教育部普通高中数学课程标准（实验） ； （3）依据江苏省普通高中课程标准教学要求 考试说明中说明了命题指导思想： 既考查中学数学的基础知识和方法，

2、又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力2008 年江苏省高考数学试题，遵循了以上原则，体现了以上思想11 低起点充分体现基础性 近几年考纲首先强调对三基的考查，即突出数学基础知识、基本技能、基本思 想方法的考查 考试说明中指出，对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既 注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数 学思想方法的考查 分析 2008 年江苏省高考数学试题，三基部分约占 60%其中填空题有：第 1 题 的三角函数周期问题，第 2 题的古典概率问题，第 3 题的复数简单运算，第 4 题的 集合运算，第 5 题的向量运算，第 6 题的几何概型

3、问题，第 7 题的统计与算法相结 合的简单问题，第 8 题的导数应用（切线的斜率）问题，以上 8 题属概念型的容量 题而第 9 题的求直线方程，第 10 题的数列简单应用，第 11 题的基本不等式应用， 第 12 题的椭圆几何性质问题等，是以考查基本技能、基本数学思想方法为主的中等 难度题解答题有：第 15 题关于两角和与差的简单计算，属课本中的基本问题，充 分体现考查的基础性，第 16 题考查了立体几何的直线与平面位置关系，这两题属容2易题，第 17 题是利用导数解决三角函数的应用问题，本题提供了两种函数建模形式， 要求考生通过对比，选择一种有效途径解决生活实际问题，第 18 题以二次函数为

4、载 体，考查了直线与圆问题，富有探索性，这两题属中等题 12 高要求必须凸显能力性 2007 年的考纲关于能力的要求叙述为四能：思维能力、运算能力、空间想象能 力、分析问题和解决问题的能力 2008 年考试说明修改为五能：数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、 推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力这五能较 07 年的四能更具体、更 明确 分析 2008 年江苏省高考数学试题，能力部分约占 40%如：第 13 题：满足条件 AB2，ACBC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 2 本题直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，建立直角坐标系求解， 则问题利于解决第 14 题：设函数（）

5、 ，若对于任意 x1，1，都有3( )31f xaxxxR成立，则实数 a 的值为 ( )0f x 一般地，一条曲线 C1在另一条曲线 C2上方，可求得参数 a 的取值范围本题中， 利用几个特殊位置（两个端点与一个切点位置） ，逼出”了 a 的值 第 19 题：（1）设 a1，a2，an是各项均不为零的 n（n4）项等差数列， 且公差 d0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列： 当 n4 时，求的数值；求 n 的所有可能值；1a d （2）求证：对于给定的正整数 n（n4） ，存在一个各项及公差都不为零的等差 数列 b1，b2，bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等

6、比数列 第（1）问的解答关键在于认识命题 P：若三个数 a，b，c 既成等差数列、又成 等比数列，则它们必为常数数列这是认识等差数列与等比数列的一个基本问题， 其中第问通过检验而排除 n5第（2）问要求考生通过分析构造出符合题意的 一种数列，由于平时考生对构造性问题研究相对较少，尽管新课标中倡导培养学生 的创造能力，但由于高中数学学习内容较多（理科学生除学习改修 1，2，3，4，5 外，还须学习选修 2 系列中的 1，2，3 三个系列，另外还要在选修 4 中的 4 个模块 中选修 2 个） ，因此，学生的研究性学习的时间较少，此类问题在高考命题中出现， 从学生的学习及人的发展来说，确实是一件好

7、的现象这也说明，要使学生的学习 在“质”上有所飞跃，我们还必须考虑如何在“数”上有所控制第 20 题：已知函数， （，p1，p2为常数） ，函数11( )3x pf x22( )2 3x pfxxRf(x)定义为：对每个给定的实数 x，112212( ),( )( ),( )( ),( )( ).f xf xfxf xfxf xfx且且（1）求对所有实数 x 成立的充要条件（用 p1，p2表示） ；1( )( )f xf x3（2）设 a，b 是两个实数，满足 ab，且 p1，p2（a，b） 若 f(a)f(b)，求证：函数 f(x)在区间a，b上的单调增区间的长度之和为（闭区间m，n的长度定

8、义2ba为 nm） 本题解答中，若令 g1(x)|xp1|，g2(x)|xp2|log32，112212( ),( )( ),( )( ),( )( ).g xg xgxg xgxg xgx且且则 f1(x)与 g1(x) 的单调性相同，f2(x)与 g2(x) 的单调性相同，f(x)与 g(x) 的单调性 相同 所以原题中关于 f(x)的问题可等价简化 为关于 g(x)的问题 由于 g2(p2)log32，令 g1(x)log32，即 |xp1|log32，可得 xp1log32 结合 g(x)的图象（易作，直观性强）知，需 分三类讨论：p2p1log32；p1log32p2p1log32；

9、p2p1log32均不难说明 g(x)的单调增区间的长度为2ba22008 年全国其他省高考数学试题特点 2008 年全国高考数学试卷除江苏省外，其他省市均文理分卷，文科与理科数学 试卷各 18 套，连同江苏卷共有 37 套综观全国各省市试卷，具有的共性为：小题 注重立足基础，个别小题以能力立意，解答题的前面部分一般也是基础性较强，后 一或两道能力要求高，有一定难度其中理科 19 套试卷的题目分布情况统计如下表：序 号省（市）三角函 数概率与统 计初步立体 几何圆锥 曲线函数与 不等式数列与 不等式1全国142536 2全国123564 3上海2，31456 4天津123546 5广东1253

10、46 6山东124653 7海南32451 8江苏1，32465 9浙江21345xylog32ba p2 p1O410安徽132645 11湖南412563 12湖北123456 13陕西123456 14重庆123546 15四川123564 16福建142536 17辽宁123465 18江西124563 19北京132546分析课程标准、教学要求、考试大纲对各部分内容的要求，从以上统计可见， 解答题的六大题分布基本为下列形态： 21 三角函数问题 以基础题为主，一般在第一题（表中有 15 个省市出在第一题） ，考查的知识点 为两角和与差的三角函数、三角函数的图象与性质、三角形中的正、余

11、弦定理及面 积等如： 例 1 （全国）设的内角所对的边长分别为，且ABCABC，abc， （）求的值；（）求的最大值3coscos5aBbActancotABtan()AB例 2 （江西）已知， （1）求的1tan3 5cos,5,(0, ) tan()值；（2）求函数的最大值( )2sin()cos()f xxx例 3 （上海）已知函数 f(x)sin2x，g(x)cos，直线与函数26x()xt tR的图像分别交于 M、N 两点 （1）当时，求MN的值；（2）( )( )f xg x， 4t 求MN在时的最大值02t，22 概率与统计初步问题 也以基础题为主，一般在第二题，江苏省文理合卷，

12、有关统计问题（如分布列、 期望等）只能在理科附加题中考如： 例 4 （天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1 2与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为1 16 （）求乙投球的命中率p；（）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数5NMABDCO学期望 例 5 （广东）随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、 二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润 分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （1）求

13、的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望） ；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高1% 为如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多70% 少？23 立体几何问题 以基础题或中等题为主，一般在第三题，如： 例 6 （四川）如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BEAF （）证明：C，D，F，E 四点共面；/1 2/1 2 （）设 ABBCBE，求二面角 AEDB 的大小；例 7 （安徽）如图，在四棱锥中，底面OABCD四边长为 1 的菱形，, ,

14、 ABCD4ABCOAABCD 且且,为的中点，为的中点 （）证明：2OA MOANBC直线；（）求异面直线 AB 与 MD 所成MNOCD且且角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离24 解析几何问题 以中等题为主，主要是圆锥曲线问题（其中椭圆问题 较多） ，一般在第四题，如：例 8 （北京）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所ABCDAC，2234xyBD在直线的斜率为 1 （）当直线过点时，求直线的方程；（）当BD(01)，AC时，求菱形面积的最大值60ABCABCD例 9 （辽宁）在直角坐标系中,点到两点的距离之和为 4,xOyP(0,3),(0, 3)设点的轨迹为,直线与交于两点

15、.（）写出的方程；（）PC1ykxC,A BC6若,求的值；（3）若点在第一象限,证明:当时,恒有.OAOB kA0k OAOB 例 10 （湖北）如图，在以点 O 为圆心， |AB|4 为直径的半圆 ADB 中，ODAB，P 是半 圆弧上一点，POB30，曲线 C 是满足| MAMB | 为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过 点 P （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交 于不同的两点 E、F若OEF 的面积不小于2，求直线 l 斜率的取值范围225 函数问题 以难题为主，一般在第五题左右，以单调性、最值、不等式恒成立问题居多， 如：例 11 （全国）设函数 （）求的单调区间；（）如sin( )2cosxf xx( )f x果对任何，都有，求的取值范围0x( )f xaxa例 12 （天津）已知函数（） ，其432( )2f xxaxxbxR中 （）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在Rba,10 3a ( )f x( )f x处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式0x