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1、2005 年全国初中数学联赛试题(E 卷)一、选择题(每小题 7 分，共 42 分)1若 a = ，b = 2 + ，则 的值为 ( )3235610a b(A) (B) (C) (D) 1 21 412316102如图 1，I 是等腰 RtABC 的内心，IE、IF 分别是AIC、AIB 的 平分线若斜边 BC = 2，AI 与 EF 交于点 P，则 IP = ( )（A） 1 （B） 222（C） 1 (D) 1 图 12223已知 = 3 + 2，= 3 2若 10 +10 是一个正整数. 则它的末位数字是22( ) (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 4如图 2，边长为 1
2、 的正ABC，分别以顶点 A、B、C 为圆心、 1 为半径作圆则这三个圆所覆盖的图形面积为 ( )（A） + (B) 323523(C) 2 (D) 3272335在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点(x，y)称为整点如果将二次函数 y = x2 + 8x 与 x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是( )个39 4(A) 16 (B) 20 (C) 25 (D) 306将 12345 适当添加括号，使之成为一个完整的算式则可分别得到不同 的值有( )种(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10二、填空题(每小题 7 分，共 28 分) 1 如图 3
3、，正方形 ABCD 的边长为 1，以 AB 为一边向形内作正ABE， 点 P 是该正三角形的中心，PD 交 AE 于点 F. 则 PF = . 2 已知 a、b 为正整数，a = b 2005若关于 x 的方程 x2 ax + b = 0 图 3 有正整数解，则 a 的最小值是 .3；某人将一本书的页码按 1，2，3，的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到一个 错误的总和 2005则被多加的页码是 .4设 n 为自然数如果 2005 能写成 n 个正的奇合数之和，就称 n 为“好数” ，则这种好数有 个PFEDCBA三、解答题(共 70 分)1(20 分)已知 p、q 为整数，且是关
4、于 x 的方程 x2 x + (p + q) + 16 = 0 的两个p2 + 11 915 4根求 p、q 的值.2(25 分)如图 4，在ABC 中，ABAC，I 是内心，M 是 BC 的中点，P 是 BC 上的一点，且 APIM，Q 是 AP 上的一点. 若 四边形 IMPQ 为平行四边形，求证：MPQ 为直角三角形.3(25 分)将前 15 个正整数 1，2，15 分成五组，每组 3 个数若每组中的 3 个数之和都相等， 就称这种分组方案是一个“和谐划分” 例如，分法(1，8，15)，(2，9，13)，(3，10，11)，(4，6，14)， (5，7，12)就是一个和谐划分试确定和谐划
5、分共有几种，并列出每种和谐划分中的分组情况参考答案一1. B 2.C 3. B 4. A 5. C 6. B. 二. 1. 2. 95 3. 52 页 4. 111.1136三1. 只有一解 p = 13，q = 7. 2. 证略. 3. 共有 11 种和谐划分，分组情况如下， S1：（1，11，12） ， （6，8，10） ， （2，9，13） ， （3，7，14） ， （4，5，15） ； S2：（1，11，12） ， （5，9，10） ， （2，8，14） ， （3，6，15） ， （4，7，13） ； S3：（1，11，12） ， （5，9，10） ， （3，8，13） ， （4，6，
6、14） ， （2，7，15） ； S4：（1，8，15） ， （3，7，14） ， （5，6，13） ， （2，10，12） ， （4，9，11） ； S5：（1，8，15） ， （4，6，14） ， （2，9，13） ， （5，7，12） ， （3，10，11） ； S6：（2，7，15） ， （1，9，14） ， （5，6，13） ， （4，8，12） ， （3，10，11） ； S7：（2，7，15） ， （4，6，14） ， （1，10，13） ， （3，9，12） ， （5，8，11） ； S8：（3，6，15） ， （1，9，14） ， （4，7，13） ， （2，10，12） ， （5，8，11） ； S9：（3，6，15） ， （2，8，14） ， （1，10，13） ， （5，7，12） ， （4，9，11） ； S10：（4，5，15） ， （1，9，14） ， （3，8，13） ， （2，10，12） ， （6，7，11） ； S11：（4，5，15） ， （2，8，14） ， （1，10，13） ， （3，9，12） ， （6，7，11） ；QPIMCBA
