《2016年江苏省常州市溧阳市中学高三上学期期中数学数学（文）试题解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年江苏省常州市溧阳市中学高三上学期期中数学数学（文）试题解析版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市中学高三（上）期学年江苏省常州市溧阳市中学高三（上）期中数学试卷（文科）中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分）只需直接写出结果分）只需直接写出结果1若集合 A=x|x24x0，B=x|x22x0，则 AB=（2，4【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合 【分析】解一元二次不等式分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A=x|x24x0=x|0x4，B=x|x22x0=x|x0 或
2、 x2，则 AB=x|0x4x|x0 或 x2=（2，4 故答案为：（2，4 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2复数 z=1+i，且（aR）是纯虚数，则实数 a 的值为 1 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于 0 且虚部不等于得答 案 【解答】解：z=1+i，由=是纯虚数，得，解得：a=1 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3若直线 mx2y1=0 经过第一、三、四象限，则实数 m 的取值范围是 m0【考点】直线的一般式方程
3、 【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】由直线过定点（0， ） ，结合图象可得【解答】解：直线 mx2y1=0 经过第一、三、四象限，直线 y= x 经过第一、三、四象限，直线过定点（0， ） ，结合图象可得 m0 故答案为：m0 【点评】本题考查直线的一般式方程，数形结合是解决问题的关键，属基础题4cos275+cos215+cos75cos15的值等于 【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】计算题 【分析】观察题目中两角 75和 15的互余关系，结合三角函数的同角公式化简前二项，反 用二倍角公式化简后一项即可【解答】解：cos275+cos215=cos275+sin275=1，且
4、 cos75cos15=cos75sin75= sin150= ，cos275+cos215+cos75cos15= 故填： 【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题5若实数 x 满足 x4，则函数 f（x）=x+的最小值为 2【考点】基本不等式 【专题】函数思想；数学模型法；不等式【分析】由题意可得 x+40，变形可得 f（x）=x+=x+4+4，由基本不等式可得【解答】解：x4，x+40，f（x）=x+=x+4+424=2当且仅当 x+4=即 x=1 时取等号，故答案为：2 【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属 基础题6设 m，n 是两条
5、不同的直线， 是两个不重合的平面，给定下列四个命题： 若 mn，n，则 m；若 m，m，则 ； 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn 其中真命题的序号为 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】根据线面垂直、面面平行的性质来求解 【解答】若 ma，则 m 要垂直 a 中的两条相交的直线，通过分析，m 只垂直来 a 中的 一条直线，故不能做出判断，错 根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推 出这两个面相互垂直，故正确 两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，对 相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故错 【点评
6、】熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳7设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则r=；类比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为 r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r=【考点】类比推理 【专题】计算题；推理和证明 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面， 由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法 类比求四面体的体积即可 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所
7、以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 （S1+S2+S3+S4）rr=故答案为：【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁 移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用 一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 8若圆 x2+y24mx+（2m3）y+4=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，则实数 m 的值为1 【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】确定圆心坐标，利用圆 x2+y24mx+（2m3）y+4
8、=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，可得圆心在直线上，代入计算，可得结论【解答】解：圆 x2+y24mx+（2m3）y+4=0 的圆心坐标为（2m，m+ ） ，圆 x2+y24mx+（2m3）y+4=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，圆心在直线上，4m+2m33=0，m=1 故答案为：1 【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础9如图，在ABC 中，已知 B=，D 是 BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=5【考点】余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形 【分析】根据余弦定理弦求出 C 的大小，利用正
9、弦定理即可求出 AB 的长度 【解答】解：AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得 cosC=，sinC=，由正弦定理得，即 AB=5， 故答案为：5 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要 求熟练掌握相应的公式10设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1， 则球 O 的表面积为 3 【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题 【分析】先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积 【解答】解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线边长为，所以球的半径为，所以
10、球的表面积为【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题11若实数 x，y 满足 x+y40，则 z=x2+y2+6x2y+10 的最小值为 18【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用 【分析】利用配方得到 z 的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得 到结论【解答】解：z=x2+y2+6x2y+10=（x+3）2+（y1）2，则 z 的几何意义为区域内的点到点D（3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当 BD 垂直直线 x+y4=0 时，此时 BD 的距离最小，最小值为点 D 到直线 x+y4=0 的距离 d=，则 z=（
11、）2=18， 故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本 题的关键12已知在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，B（0，1）到直线 l 的距离分别为 1 和 2，则这样的直线 l 共有 3 条 【考点】直线的截距式方程 【专题】数形结合；综合法；直线与圆 【分析】由于 AB=2+1，故满足条件的且和线段 AB 有交点的直线存在，故满足条件的直 线有三条，另外两条直线位于线段 AB 的两侧 【解答】解：AB=3=2+1，故存在和线段 AB 有交点的直线 故满足条件的直线有三条，如图：故答案为：3 【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系
12、，体现了数形结合的数学思想13定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）1f（x） ，f（0）=6，f（x）是 f（x）的导函数，则不等式 exf（x）ex+5（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（0，+） 【考点】导数的乘法与除法法则 【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数 g（x）=exf（x）ex， （xR） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设 g（x）=exf（x）ex， （xR） ，则 g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）1f（x） ，f（x）+f（x）10，g（x）0， y=g（x）在定义域上单调
13、递增，exf（x）ex+5， g（x）5，又g（0）=e0f（0）e0=61=5，g（x）g（0） ， x0， 不等式的解集为（0，+） 故答案为：（0，+） 【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断 函数的单调性是解题的关键14已知等比数列an的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，记数列log2an的前 n 项和为 Tn，若 a1，且=9，则当 n=11 时，Tn有最小值【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列 【分析】利用等比数列的前 n 项和公式可得 q，利用对数的运算性质及其等差数列的前
14、 n项和公式可得 Tn，再利用二次函数的单调性即可得出 【解答】解：q=1 不满足条件，舍去=9，=1+q3=9，解得 q=2，log2an=log2a1+（n1） Tn=nlog2a1+=+n，a1，log2a1log22016，log21949，=，1024=210194920162048=211，当 n=11 时，Tn取得最小值 故答案为：11 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、对数的运算性质、 不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 90 分）解答应写出文字
15、说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）在ABC 在，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cosC= ，sinA=cosB （1）求 tanB 的值； （2）若 c=，求ABC 的面积 【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】 （1）由 cosC= ，C（0，） ，可得 sinC=，由 A+B+C=，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，又 sinA=cosB即可得出 tanB（2）由（1）知 tanB=，可得 sinB，cosB利用正弦定理得，又sinA=cosB，利用 S= bcsinA 即可得出【解答】解：（1）cosC= ，C（0，） ，sinC=， A+B+C=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=， 又 sinA=cosBcosB=，tan
