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1、1三、计算题（每小题 11 分，共 44 分）1.计算极限 1)1sin(lim21xxx解：21 ) 1)(1() 1sin(lim1) 1sin(lim 121xxx xxxx2.设，求xxyecosln y解： xx xyesine13.计算不定积分xxx de21解：由换元积分法得 cuxxxuuxx ede)1(dede121cx1 e4.计算定积分e1dlnxx解：由分部积分法得 e1e1e1)d(lnlndlnxxxxxx1dee1x1.计算极限: 4)2sin(lim22xxx412.设，求: xxxyesin2yxxxxxesincos223.设，求:2esinxy y22e
2、cose2xxx4.设是由方程确定的函数，求yy x( )3elnyxydyxyxyd)e3(125.计算不定积分:xxxd1cos2cx1sin6.计算定积分:e1dlnxxx94e923已知，求 32) 1(2xxxf)1(,)2(,)(xffxf,42x0 2241 xx计算极限: xxx5sin6tanlim 056计算极限: 5456lim221xxxxx32计算极限: 32) 1sin(lim21xxxx41设，求: 2lnsin xxxyy 3ln2sin21cos xxxxx设，求:xy3sinlnydxxdcot3设是由方程确定的函数，求yy x( )xyxycosee3dy
3、xxyxyyx dcos3esine23计算不定积分: xxxdsincx cos2计算不定积分 :xxxd)ln1 (1cx ln1ln计算不定积分 :xxx de21cx1 e计算不定积分:xxxdln2cxxx1ln计算定积分:102dexxx)1e(412计算定积分:e12dlnxxx)12e(913计算定积分:e1dlnxxxe24 1.计算极限 xxx5sin6sinlim 0解：5655sinlim66sinlim5655sin66sin56lim5sin6sinlim0000 xxxxxxxxxxxxxx2.设，求 22sin xxyxy解：由导数四则运算法则得4224222s
4、in22ln2cos)2(sin2)2(sinxxxxxxxxxxxxyxxxx312sin22ln2cos xxxxxxx3.设，求 解： xyesin2y)e2sin(eecosesine2xxxxxy4.设是由方程确定的函数，求yy x( )yxyecosdy 解：等式两端求微分得 左端yxxyxydcos)(cosd)cos(dyxxxydcosdsin右端yyyde)e(d由此得 yyxxxyydedcosdsin整理后得 xxxyyydecossind5.计算不定积分xxxd3cos解：由分部积分法得xxxxxxxd3sin313sin31d3coscxxx3cos913sin31
5、6.计算定积分e1dln2xxx解：由换元积分法得32e1e1d)ln2()dln2(dln2uuxxxxx25 2322 u1.计算极限解： 4586lim224xxxxx32 ) 1)(4()2)(4(lim4586lim 4224xxxx xxxxxx2.设，求xxxylncosln2dy解：由微分运算法则得 )ln(d)cos(lnd)lncos(lndd22xxxxxxy)(lnd)(dln)(cosdcos122xxxxxxxxxxxxxxxd1dln2dcossin2xxxxxd)ln2tan(3.计算不定积分xxxdcos解：由换元积分法得cxxxxxxsin2)d(cos2d
6、cos4.计算定积分e1dlnxxx解：由分部积分法得e12e12e1)d(ln21ln2dlnxxxxxxx41 4ed21 2e2e12 xx四、应用题（本题 16 分）1.某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为rh rVrrhrS222222224rVrS由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即0S 32Vr 32Vr 34Vh 当容器的底半径与高分别为与时，用料最省32V 34V2.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？当底半径，高
7、时，圆柱体的体积最大lr36lh332求曲线上的点，使其到点的距离最短xy22)0,2(A和 )2, 1 ()2, 1 (圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 底半径，高dr36dh33某厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？底半径，高 3 Vr 3 Vh 欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 底边长，高5x5 . 2h圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高与底半径满足 hr222lrh圆柱体的体积公式
8、为 hrV2将代入得222hlrhhlV)(22求导得)3()(2(22222hlhlhV令得，并由此解出即当底半径，高时，圆柱体的体积最大0Vlh33lr36lr36lh33求曲线yx2上的点，使其到点A( , )3 0的距离最短解：曲线yx2上的点到点A( , )3 0的距离公式为22)3(yxd与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点，将yx2代入得d2d2d xxd22)3(令 求导得 xxxD2)3()(1)3(2)(xxD令得并由此解出，即曲线yx2上的点0)(2d25x210y和点到点A( , )3 0的距离最短)210,25()210,25(五、证明题（本题 4 分）当时，证明不等式0xxxarctan证明：设，则有xxxFarctan)( 2221111)(xx xxF当时，故单调增加，所以当时有，0x0)( xF)(xF0x0)0()( FxF即不等式成立，证毕xxarctanl
