2017年吉林省长春市高三质量监测（四）数学理试题（图片版）

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1、 长春市普通高中长春市普通高中 2017 届高三质量监测（届高三质量监测（四四）数学（理科）参考答案与评分标准数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. A 2. B3. B4. A5. D 6. C7. D 8. B9. D10. B11. A12. A简答与提示：1.【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算. 【试题解析】A 由21i 可知，原式110ii . 故选 A.2.【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由 |24Ax xx 或， |4Bx x，故() |4ABx xR . 故选 B. 3.【命题意图】本题考查分

2、段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的( )f x的图像可知，该函数的值域为( 1,) . 故选 B.4.【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念. 【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5.【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果 24，故选 D. 6.【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质. 【试题解析】C 由( )cos2sin22cos(2)4f xxxx ，则( )2cos(2()2cos(2)2sin2842F xxxx . 故选 C. 7.【

3、命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：11112 2 22 42 22 34 2 246 22 62222S . 故选 D. 8.【命题意图】本题考查二项式相关问题. 【试题解析】B 102()2x x 的展开式中，x的系数是773 10215() ()22xCxx . 故选 B. 9.【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识. 【试题解析】D0.6826(66.8)0.34132Px . 故选 D. 10. 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质. 【试题解析】B 由题可知AB为ABC的直径，

4、令球的半径为R，则222()( 2)3RR ，可得3 2R ，则球的表面积为249SR. 故选 B. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义. 【试题解析】A 不妨设12| |PFPF，则1212| 2| 6PFPFaPFPFa ，则1| 4PFa，2| 2PFa，且12| 2FFc，即2|PF为最小边，即1230PFF ，则12PFF为直角三角形，且22 3ca，即渐近线方程为2yx ，故选 A. 12. 【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题. 【试题解析】A 已知22( )(ln )xef xkxxx ，则32( )()xxfxekxx ，当0x 时，0xekx恒成立，因此ke.

5、故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 214. 1 415. 3 7 516. 8 月 4 日简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为(1,0)故，z的最小值为2. 14. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.【试题解析】由题意2222|2aababab，则220ab+ |b|，即22| |cos| abb，故1cos4 .15. 【命题意图】本题考查解三角形的问题.【试题解析】由正弦定理可得2sinsin3sinABB，可得3A ，由余弦定理可得7BC

6、 ，再根据角分线定理可知，3 7 5BD . 16. 【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力. 【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除 5 月 5 日、5 月 6 日、9 月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为 8 月 4 日.三、解答题 17. (本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识. 【试题解析】(1)设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q. 11225233,

7、1,10,2abbSaba=+=-=Q33103+4232qddqd+=-=+ （2 分）2,2dq=（4 分）121,2nnnanb-=+=（6 分）（2）由（1）知，(321)(2)2nnnSn n+=+ （8 分）111,2 2,n nnnnc n-+= 为奇数为偶数（9 分）13521 211111(1)(2222)3352121n nTnn-=-+-+ +-+ +-+21121 321nn+=-+.（12 分）18. (本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为 12

8、 个月的概率为2 5，（2 分）所以 3 人中恰有 2 人选择此贷款的概率为22 32336( )55125PC= = （6 分）(2)由题意知，享受补贴 200 元的概率为11 5P = ,享受补贴 300 元的概率为23 5P = ，享受补贴 400 元的概率为31 5P = ，即随机变量X的分布列为（9 分）X200300400P1 53 51 5（10 分）200900400()300555E X=+= ，600300180000w=元. 所以，2017 年政府需要补贴全市 600 人补贴款 18 万元. （12 分）19. (本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本题以四棱柱

9、为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（）证明：连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，因为E为1B D中点，F为BD中点，所以1/EFBB，所以EF 平面ABCD，又因为EF在平面ACE内，所以平面ACE 平面ABCD.（6 分）（）由于四边形ABCD是菱形，所以以F为坐标原点，分别以FC，FD，FE为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系，设FAa，FDb，有221ab，(,0,0)Aa，( ,0,0)C a，(0, ,0)Db，1(0,0, )2E ，有1( ,0, )2AEa ，( , ,0)ADa b ，设平面ADE的法向量为1( , 2)nbaab，

10、平面 ACE 的法向量为2(0,1,0)n ，（8 分）由题意知12 12 12|1cos60|cos,|2| |n nn nnn ，解得2 2ab . （10 分）所以菱形ABCD为正方形，所以三棱锥CADE的体积111 3212VEFAD CD . （12 分）20. (本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（）设AQ于BP交点C为( , )x y，1( 2,)Py，1( ,2)Q x，由题可知， 111122,242224yxyyy xxx，（4 分）从而有42 2yx xy，整理得2 21

11、4xy ，即为椭圆方程.（6 分）（）(2,0)R，设00(,)M xy，有2 00142yx ，从而所求梯形面积001(2)2Sxy22 001(4)(2)4xx ，（8 分）令02,24txt ，34144Stt ，令342324,1244 (3)uttutttt，（10 分）当(2,3)t时，344utt单调递增，当(3,4)t时，344utt单调递减，所以当3t 时S取最大值3 3 4. （12 分） 21. (本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（）2(

12、 )(2 )axfxeaxx，令( )0fx可得，0x 或2xa .（2 分）又0a ，则可知( )f x在(,0)和2(,)a 上单调递减；在20,a 上单调递增. （4 分）（）在（）条件下，当21a ，即20a时，( )f x在0,1上单调递增，则( )f x最大值为(1)afe；（6 分）当21a ，即2a 时，( )f x在20,a 单调递增，在2(,)a 上单调递减，则( )f x的最大值为2 224()feaa . （9 分）（）要证( )( )2g xxf x，即证3ln(2)2xxx ex ，（10 分）令3( )(2)xh xx e，则322( )(32)(1)(22)xx

13、h xxxeexxx ，又(0,1)x，可知在(0,1)x内存在极大值点，又(0)2h，(1)he，则( )h x在(0,1)x上恒大于 2，（11 分）而ln2x x 在(0,1)x上恒小于 2，因此( )( )2g xxf x在(0,1)x上恒成立. （12 分）22. (本小题满分本小题满分 10 分分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】（）由题意可知2 2 1:1,4xCy22 2:(2)4Cxy. （5 分）（）由点,A B在曲线1C上，则2 12 04 1 3sin，2 2 2 041 3sin ()2

14、 2 0 2 111 3sin 4 ，2 0 2 211 3cos 4 ，因此22 00 22 121 3sin1 3cos115 444 . （10 分）23. (本小题满分本小题满分 10 分分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（） 因为0a ，所以21,1( ) |1|=1, 121,xaxf xxxaaxaxaxa ， 又因为不等式( )5f x的解集为 |2x x或3x，解得2a .（5 分）（）111()()111 2abbccaabbcca abbccam 1112bccaabcaabbc ababbcbccaca m =39 22bcabcabcabca abbcbccacaab mm= （10 分）